Ecuación diferencial tan(x)*y'=-1-2/y

Tenemos la ecuación:
$$\tan{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = -1 - \frac{2}{y{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y{\left(x \right)} + 2}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y{\left(x \right)} + 2}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 2} = - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 2} = - \frac{dx}{\tan{\left(x \right)}}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + 2} = - \frac{dx}{\tan{\left(x \right)}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{y + 2}\, dy = \int \left(- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$y - 2 \log{\left(y + 2 \right)} = Const - \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - 2 W\left(- \frac{\sqrt{C_{1} \sin{\left(x \right)}}}{2 e^{1}}\right) - 2$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - 2 W\left(\frac{\sqrt{C_{1} \sin{\left(x \right)}}}{2 e^{1}}\right) - 2$$