Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación dy/dx=((x+y-5))2
- Ecuación y''+y=4cosx-senx
- Ecuación dx/dt=kx(n+1+x)
- Ecuación y"+6y'+10y=0
- Derivada de:
-
dx/dt
-
Expresiones idénticas
- dx/dt=kx(n+ uno +x)
- dx dividir por dt es igual a kx(n más 1 más x)
- dx dividir por dt es igual a kx(n más uno más x)
- dx/dt=kxn+1+x
- dx dividir por dt=kx(n+1+x)
-
Expresiones semejantes
- dx/dt=kx(n-1+x)
- dx/dt=kx(n+1-x)
-
Expresiones con funciones
- dx
- dx/(xz-y)=dy/(yz-x)=dz/(xy-z)
- dx/dy=(senx)/(cosy)
- dx/dy=x^2-2x+2
- dx/(x^2-xy+y^2)=dy/(2y^2-xy)
- dx/dt=t
- dt
- dt/dx=x-3y
- dt*y^2+dy*(t^2-t*y-y^2)=0
- dt*(3*t+y4)+4*dy*t*y^3=0
- dt=e^y*dy
- dt*(2*t^2*y+y^2)+dy*(2*t^3-t*y)=0
- kx
- kx+mx''=0
Ecuación diferencial dx/dt=kx(n+1+x)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d --(x(t)) = k*(1 + n + x(t))*x(t) dt
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = k \left(n + x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}$$
x' = k*(n + x + 1)*x
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = k \left(n + x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - k$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = - \left(n + x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$- \left(n + x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{\left(n + x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}} = - k$$
Con esto hemos separado las variables t y x.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dt \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{\left(n + x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}} = - dt k$$
o
$$- \frac{dx}{\left(n + x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}} = - dt k$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- \frac{1}{x \left(n + x + 1\right)}\right)\, dx = \int \left(- k\right)\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(- \frac{n^{2}}{2 \left(n + 1\right)} + \frac{n}{2} - \frac{n}{n + 1} + x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(n + 1\right)} \right)}}{n + 1} + \frac{\log{\left(\frac{n^{2}}{2 \left(n + 1\right)} + \frac{n}{2} + \frac{n}{n + 1} + x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(n + 1\right)} \right)}}{n + 1} = Const - k t$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = - \frac{n + 1}{1 - e^{- C_{1} n - C_{1} - k n t - k t}}$$
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = k \left(n + x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(x)*x' = f2(x)*g2(x),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - k$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = - \left(n + x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(x)/g2(x)*x'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$- \left(n + x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{\left(n + x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}} = - k$$
Con esto hemos separado las variables t y x.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dt \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{\left(n + x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}} = - dt k$$
o
$$- \frac{dx}{\left(n + x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}} = - dt k$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- \frac{1}{x \left(n + x + 1\right)}\right)\, dx = \int \left(- k\right)\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(- \frac{n^{2}}{2 \left(n + 1\right)} + \frac{n}{2} - \frac{n}{n + 1} + x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(n + 1\right)} \right)}}{n + 1} + \frac{\log{\left(\frac{n^{2}}{2 \left(n + 1\right)} + \frac{n}{2} + \frac{n}{n + 1} + x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(n + 1\right)} \right)}}{n + 1} = Const - k t$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = - \frac{n + 1}{1 - e^{- C_{1} n - C_{1} - k n t - k t}}$$
Respuesta
[src]
-(1 + n)
x(t) = -----------------------------
-C1 - C1*n - k*t - k*n*t
1 - e
$$x{\left(t \right)} = - \frac{n + 1}{1 - e^{- C_{1} n - C_{1} - k n t - k t}}$$
Clasificación
separable
Bernoulli
1st power series
lie group
separable Integral
Bernoulli Integral