Ecuación diferencial xy'+y(1+ln(y))=0

Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \left(\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1\right) y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \left(\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1\right) y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\left(\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1\right) y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1\right) y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1\right) y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{dy}{\left(\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1\right) y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y \left(\log{\left(y \right)} + 1\right)}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(\log{\left(y \right)} + 1 \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{\frac{C_{1}}{x} - 1}$$