Ecuación diferencial t+dx*x/dt=1

Tenemos la ecuación:
$$t + x{\left(t \right)} \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(x)*x' = f2(x)*g2(x),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = t - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x{\left(t \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(x)/g2(x)*x'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$- \frac{1}{x{\left(t \right)}}$$
obtendremos
$$- x{\left(t \right)} \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = t - 1$$
Con esto hemos separado las variables t y x.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- dt x{\left(t \right)} \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = dt \left(t - 1\right)$$
o
$$- dx x{\left(t \right)} = dt \left(t - 1\right)$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- x\right)\, dx = \int \left(t - 1\right)\, dt$$
Solución detallada de la integral con x
Solución detallada de la integral con t
Tomemos estas integrales
$$- \frac{x^{2}}{2} = Const + \frac{t^{2}}{2} - t$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = - \sqrt{C_{1} - t^{2} + 2 t}$$
$$\operatorname{x_{2}} = x{\left(t \right)} = \sqrt{C_{1} - t^{2} + 2 t}$$