Ecuación diferencial y‘‘+y=cosx

Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = 0$$
$$q = 1$$
$$s = - \cos{\left(x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 1 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - i$$
$$k_{2} = i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces tienen una forma exclusivamente imaginaria, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \left|{k_{1}}\right| \right)} + C_{2} \cos{\left(x \left|{k_{2}}\right| \right)}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \right)} + C_{2} \cos{\left(x \right)}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = sin(x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = cos(x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$\sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$
o
$$\sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$- \sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} \sin{\left(x \right)} + C_{4} \cos{\left(x \right)} + \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{4}$$
donde C3 y C4 hay son constantes