Ecuación diferencial (2y-x+1)dx+(4y-2x+6)dy=0

Tenemos la ecuación:
$$- 2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - x + 4 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)} + 6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = - 2 x + 4 y{\left(x \right)} + 6$$
y porque
$$4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{4} + \frac{1}{2}$$
sustituimos
$$- 2 x \frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{4} - \frac{3}{2}\right) + 4 \left(\frac{x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{4} - \frac{3}{2}\right) \frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{4} - \frac{3}{2}\right) + \frac{u{\left(x \right)}}{2} + 6 \frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{4} - \frac{3}{2}\right) - 2 = 0$$
o
$$\frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{4} + u{\left(x \right)} - 2 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = 4 - \frac{8}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$4 - \frac{8}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{4 \left(u{\left(x \right)} - 2\right)} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{4 \left(u{\left(x \right)} - 2\right)} = - dx$$
o
$$\frac{du u{\left(x \right)}}{4 \left(u{\left(x \right)} - 2\right)} = - dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{u}{4 \left(u - 2\right)}\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{u}{4} + \frac{\log{\left(u - 2 \right)}}{2} = Const - x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = 2 W\left(C_{1} e^{- 2 x - 1}\right) + 2$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{x}{2} + \frac{u{\left(x \right)}}{4} - \frac{3}{2}$$
$$y1 = y(x) = \frac{x}{2} + \frac{W\left(C_{1} e^{- 2 x - 1}\right)}{2} - 1$$