Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación y"-2y'-24y=0
- Ecuación x^-1dx=(xsiny-1)dy
- Ecuación x+sqrt(xy)(dy/dx)=y
- Ecuación dy/dx=x^3/y^2
- Derivada de:
-
dy/dx
-
Expresiones idénticas
- dy/dx=x^ tres /y^ dos
- dy dividir por dx es igual a x al cubo dividir por y al cuadrado
- dy dividir por dx es igual a x en el grado tres dividir por y en el grado dos
- dy/dx=x3/y2
- dy/dx=x³/y²
- dy/dx=x en el grado 3/y en el grado 2
- dy dividir por dx=x^3 dividir por y^2
-
Expresiones con funciones
- dy
- dy/dx=5+y/x
- dy+ydx=2xy^2e^xdx
- dy/dt=t/ye^(y+t^2)
- dy/dx=2sqrt(y)
- dy/dx=2x-3
- dx
- dx/dy=1+2y^2/ysenx
- dx/dt=4(x-x^2-1)
- dx/dy=(2/y)x=raiz(y)*(x/y^2)^3/2
- dx/dt=3xt^(2)-3t^(2)
- dx=(3t^2)dt
Ecuación diferencial dy/dx=x^3/y^2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
3
d x
--(y(x)) = -----
dx 2
y (x)
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
y' = x^3/y^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x^{3}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x^{3}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx x^{3}$$
o
$$- dy y^{2}{\left(x \right)} = - dx x^{3}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y^{2}\right)\, dy = \int \left(- x^{3}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{3}}{3} = Const - \frac{x^{4}}{4}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 x^{4}}{4}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 x^{4}}{4}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 x^{4}}{4}}}{2}$$
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x^{3}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x^{3}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx x^{3}$$
o
$$- dy y^{2}{\left(x \right)} = - dx x^{3}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y^{2}\right)\, dy = \int \left(- x^{3}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{3}}{3} = Const - \frac{x^{4}}{4}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 x^{4}}{4}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 x^{4}}{4}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 x^{4}}{4}}}{2}$$
Respuesta
[src]
___________
/ 4
/ 3*x
y(x) = 3 / C1 + ----
\/ 4
$$y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 x^{4}}{4}}$$
___________
/ 4
/ 3*x / ___\
3 / C1 + ---- *\-1 - I*\/ 3 /
\/ 4
y(x) = -------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 x^{4}}{4}}}{2}$$
___________
/ 4
/ 3*x / ___\
3 / C1 + ---- *\-1 + I*\/ 3 /
\/ 4
y(x) = -------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 x^{4}}{4}}}{2}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, -0.004366015500255005)
(-5.555555555555555, 6.90633611016657e-310)
(-3.333333333333333, 6.90611784297755e-310)
(-1.1111111111111107, 6.9061178429839e-310)
(1.1111111111111107, 6.9061178429902e-310)
(3.333333333333334, 6.9061178429965e-310)
(5.555555555555557, 6.90611784336016e-310)
(7.777777777777779, 6.90633611016657e-310)
(10.0, 6.90611784249376e-310)
(10.0, 6.90611784249376e-310)