Sr Examen
Ecuación diferencial (1-sinx)y''=cosx*y'
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
(1 - sin(x))*---(y(x)) = --(y(x))*cos(x)
2 dx
dx
$$\left(1 - \sin{\left(x \right)}\right) \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
(1 - sin(x))*y'' = cos(x)*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\left(1 - \sin{\left(x \right)}\right) \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}$$
o
$$\frac{dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y'}\, dy' = \int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y' \right)} = Const - \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \frac{C_{1}}{\sin{\left(x \right)} - 1}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \frac{C_{1}}{\sin{\left(x \right)} - 1}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{2 C_{1}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1} + C_{2}$$
$$\left(1 - \sin{\left(x \right)}\right) \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}$$
o
$$\frac{dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y'}\, dy' = \int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y' \right)} = Const - \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \frac{C_{1}}{\sin{\left(x \right)} - 1}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \frac{C_{1}}{\sin{\left(x \right)} - 1}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{2 C_{1}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1} + C_{2}$$
Respuesta
[src]
C2
y(x) = C1 + -----------
/x\
-1 + tan|-|
\2/
$$y{\left(x \right)} = C_{1} + \frac{C_{2}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1}$$
Clasificación
nth order reducible
2nd power series ordinary