Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación y''=-1/(2*y^3)
- Ecuación (2*x^2*y*log(y)-x)*y'=y
- Ecuación (2x+1)y'+y=x
- Ecuación x^3*y'=(x^2+y^2)*y
- Derivada de:
-
dy/dx
-
Expresiones idénticas
- dy/dx=- uno /(x^ dos)- seis *y/x- seis *y^ dos
- dy dividir por dx es igual a menos 1 dividir por (x al cuadrado ) menos 6 multiplicar por y dividir por x menos 6 multiplicar por y al cuadrado
- dy dividir por dx es igual a menos uno dividir por (x en el grado dos) menos seis multiplicar por y dividir por x menos seis multiplicar por y en el grado dos
- dy/dx=-1/(x2)-6*y/x-6*y2
- dy/dx=-1/x2-6*y/x-6*y2
- dy/dx=-1/(x²)-6*y/x-6*y²
- dy/dx=-1/(x en el grado 2)-6*y/x-6*y en el grado 2
- dy/dx=-1/(x^2)-6y/x-6y^2
- dy/dx=-1/(x2)-6y/x-6y2
- dy/dx=-1/x2-6y/x-6y2
- dy/dx=-1/x^2-6y/x-6y^2
- dy dividir por dx=-1 dividir por (x^2)-6*y dividir por x-6*y^2
-
Expresiones semejantes
- dy/dx=-1/(x^2)+6*y/x-6*y^2
- dy/dx=-1/(x^2)-6*y/x+6*y^2
- dy/dx=+1/(x^2)-6*y/x-6*y^2
-
Expresiones con funciones
- dy
- dy/dx=x+3x^2/y^2
- dy/dx=2*y/x
- dy/dx=-y/x
- dy/dx=(x+1)^2
- dy/(4*x)=dx/(3*y)
- dx
- dx*(2*x^2*y+2*y+5)+dy*(2*x^3+2*x)=0
- dx*(x/sqrt(x^2+y^2)+y)+dy*(x+y/sqrt(x^2+y^2))=0
- dx*sin(x)+dy/sqrt(y)=0
- dx*(e^y*x+4*x^3-y)+dy*(e^y*x^2/2-x+1)=0
- dx*e^(-y)+dy*(1-e^(-y)*x)=0
Ecuación diferencial dy/dx=-1/(x^2)-6*y/x-6*y^2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 1 2 6*y(x)
--(y(x)) = - -- - 6*y (x) - ------
dx 2 x
x
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - 6 y^{2}{\left(x \right)} - \frac{6 y{\left(x \right)}}{x} - \frac{1}{x^{2}}$$
y' = -6*y^2 - 6*y/x - 1/x^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$6 y^{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{6 y{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$\frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + \frac{6 u^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{6 u{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} = 0$$
o
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} + \frac{6 u^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{5 u{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = 6 u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$6 u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{6 u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{6 u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{du}{6 u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{6 u^{2} + 5 u + 1}\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(u + \frac{1}{3} \right)} - \log{\left(u + \frac{1}{2} \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{3 C_{1} - 2 x}{6 \left(- C_{1} + x\right)}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{3 C_{1} - 2 x}{6 x \left(- C_{1} + x\right)}$$
$$6 y^{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{6 y{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$\frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + \frac{6 u^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{6 u{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} = 0$$
o
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} + \frac{6 u^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{5 u{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = 6 u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$6 u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{6 u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{6 u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{du}{6 u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{6 u^{2} + 5 u + 1}\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(u + \frac{1}{3} \right)} - \log{\left(u + \frac{1}{2} \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{3 C_{1} - 2 x}{6 \left(- C_{1} + x\right)}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{3 C_{1} - 2 x}{6 x \left(- C_{1} + x\right)}$$
Respuesta
[src]
/ I*log(x)\
-5 - I*tan|C1 + --------|
\ 2 /
y(x) = -------------------------
12*x
$$y{\left(x \right)} = \frac{- i \tan{\left(C_{1} + \frac{i \log{\left(x \right)}}{2} \right)} - 5}{12 x}$$
Clasificación
Riccati special minus2
separable reduced
lie group
separable reduced Integral