Sr Examen
Ecuación diferencial (dy/dx)=(1)/(ln(2x+y+3)+1)-2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 1 --(y(x)) = -2 + ----------------------- dx 1 + log(3 + 2*x + y(x))
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = -2 + \frac{1}{\log{\left(2 x + y{\left(x \right)} + 3 \right)} + 1}$$
y' = -2 + 1/(log(2*x + y + 3) + 1)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 - \frac{1}{\log{\left(2 x + y{\left(x \right)} + 3 \right)} + 1} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = 2 x + y{\left(x \right)} + 3$$
y porque
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 2$$
sustituimos
$$\frac{d}{d x} \left(- 2 x + u{\left(x \right)} - 3\right) + 2 - \frac{1}{\log{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 1} = 0$$
o
$$\frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{1}{\log{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 1} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{1}{\log{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{1}{\log{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 1}$$
obtendremos
$$\left(\log{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \left(\log{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = dx$$
o
$$du \left(\log{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 1\right) = dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(\log{\left(u \right)} + 1\right)\, du = \int 1\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$u \log{\left(u \right)} = Const + x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = e^{W\left(C_{1} + x\right)}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - 2 x + u{\left(x \right)} - 3$$
$$y1 = y(x) = - 2 x + e^{W\left(C_{1} + x\right)} - 3$$
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 - \frac{1}{\log{\left(2 x + y{\left(x \right)} + 3 \right)} + 1} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = 2 x + y{\left(x \right)} + 3$$
y porque
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 2$$
sustituimos
$$\frac{d}{d x} \left(- 2 x + u{\left(x \right)} - 3\right) + 2 - \frac{1}{\log{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 1} = 0$$
o
$$\frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{1}{\log{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 1} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{1}{\log{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{1}{\log{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 1}$$
obtendremos
$$\left(\log{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \left(\log{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = dx$$
o
$$du \left(\log{\left(u{\left(x \right)} \right)} + 1\right) = dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(\log{\left(u \right)} + 1\right)\, du = \int 1\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$u \log{\left(u \right)} = Const + x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = e^{W\left(C_{1} + x\right)}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - 2 x + u{\left(x \right)} - 3$$
$$y1 = y(x) = - 2 x + e^{W\left(C_{1} + x\right)} - 3$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
1st power series
lie group
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)