Sr Examen
Ecuación diferencial cos^2ydx-(1+x^2)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d 2 d
cos (y(x)) - --(y(x)) - x *--(y(x)) = 0
dx dx
$$- x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
-x^2*y' + cos(y)^2 - y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
o
$$- \frac{dy}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{\cos^{2}{\left(y \right)}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\sin{\left(y \right)}}{\cos{\left(y \right)}} = Const - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} + 1} - 1}{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} + 1} + 1}{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}} \right)}$$
$$- x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
o
$$- \frac{dy}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{\cos^{2}{\left(y \right)}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\sin{\left(y \right)}}{\cos{\left(y \right)}} = Const - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} + 1} - 1}{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} + 1} + 1}{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ ___________________________________\
| / 2 2 |
|-1 + \/ 1 + C1 + atan (x) + 2*C1*atan(x) |
y(x) = 2*atan|-------------------------------------------|
\ C1 + atan(x) /
$$y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} + 1} - 1}{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}} \right)}$$
/ ___________________________________\
| / 2 2 |
|1 + \/ 1 + C1 + atan (x) + 2*C1*atan(x) |
y(x) = -2*atan|------------------------------------------|
\ C1 + atan(x) /
$$y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} + 1} + 1}{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.764887604445915)
(-5.555555555555555, 0.7903836175089756)
(-3.333333333333333, 0.8434406426488484)
(-1.1111111111111107, 1.0021343695074747)
(1.1111111111111107, 1.2714914625932168)
(3.333333333333334, 1.3056059725776326)
(5.555555555555557, 1.3131760612375922)
(7.777777777777779, 1.3163963366084686)
(10.0, 1.318170291872679)
(10.0, 1.318170291872679)