Sr Examen
Ecuación diferencial xy''=sqrt(1+(y')^2)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
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2 / 2
d / /d \
x*---(y(x)) = / 1 + |--(y(x))|
2 \/ \dx /
dx
$$x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \sqrt{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 1}$$
x*y'' = sqrt(y'^2 + 1)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \sqrt{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 1}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = \sqrt{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$\sqrt{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 1}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\sqrt{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 1}} = \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\sqrt{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 1}} = \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{dy'}{\sqrt{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 1}} = \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{y'^{2} + 1}}\, dy' = \int \frac{1}{x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\operatorname{asinh}{\left(y' \right)} = Const + \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \sinh{\left(C_{1} + \log{\left(x \right)} \right)}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \sinh{\left(C_{1} + \log{\left(x \right)} \right)}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} + \int \sinh{\left(C_{1} + \log{\left(x \right)} \right)}\, dx$$
$$x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \sqrt{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 1}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = \sqrt{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$\sqrt{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 1}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\sqrt{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 1}} = \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\sqrt{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 1}} = \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{dy'}{\sqrt{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + 1}} = \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{y'^{2} + 1}}\, dy' = \int \frac{1}{x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\operatorname{asinh}{\left(y' \right)} = Const + \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \sinh{\left(C_{1} + \log{\left(x \right)} \right)}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \sinh{\left(C_{1} + \log{\left(x \right)} \right)}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} + \int \sinh{\left(C_{1} + \log{\left(x \right)} \right)}\, dx$$
Clasificación
factorable
nth order reducible