Ecuación diferencial dy/(4*x^3)=dx/(9*y^2)

Tenemos la ecuación:
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{4 x^{3}} = \frac{1}{9 y^{2}{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x^{3}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{4}{9 y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{4}{9 y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{9 y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{4} = - x^{3}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{9 dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{4} = - dx x^{3}$$
o
$$- \frac{9 dy y^{2}{\left(x \right)}}{4} = - dx x^{3}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{9 y^{2}}{4}\right)\, dy = \int \left(- x^{3}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{3 y^{3}}{4} = Const - \frac{x^{4}}{4}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} + \frac{x^{4}}{3}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \frac{x^{4}}{3}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \frac{x^{4}}{3}}}{2}$$