Sr Examen
Ecuación diferencial y''+ay'+by=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
a*--(y(x)) + b*y(x) + ---(y(x)) = 0
dx 2
dx
$$a \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + b y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
a*y' + b*y + y'' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$a \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + b y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = a$$
$$q = b$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$a k + b + k^{2} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}$$
$$k_{2} = - \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(- \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}\right)}$$
$$a \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + b y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = 0,
donde
$$p = a$$
$$q = b$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$a k + b + k^{2} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}$$
$$k_{2} = - \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(- \frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2} - 4 b}}{2}\right)}$$
Respuesta
[src]
/ __________\ / __________ \
| / 2 | | / 2 |
x*\-a - \/ a - 4*b / x*\\/ a - 4*b - a/
---------------------- ---------------------
2 2
y(x) = C1*e + C2*e
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x \left(- a - \sqrt{a^{2} - 4 b}\right)}{2}} + C_{2} e^{\frac{x \left(- a + \sqrt{a^{2} - 4 b}\right)}{2}}$$
Clasificación
nth linear constant coeff homogeneous
2nd power series ordinary