Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación y"-8y'+16y=0
- Ecuación y''-5y'-6y=3cosx+19sinx
- Ecuación dy/dx=3*e^(-y)*x^2
- Ecuación y"'+3y"+3y'+y=0
- Derivada de:
-
dy/dx
-
Expresiones idénticas
- dy/dx=(x+y- siete)^ dos
- dy dividir por dx es igual a (x más y menos 7) al cuadrado
- dy dividir por dx es igual a (x más y menos siete) en el grado dos
- dy/dx=(x+y-7)2
- dy/dx=x+y-72
- dy/dx=(x+y-7)²
- dy/dx=(x+y-7) en el grado 2
- dy/dx=x+y-7^2
- dy dividir por dx=(x+y-7)^2
-
Expresiones semejantes
- dy/dx=(x+y+7)^2
- dy/dx=(x-y-7)^2
-
Expresiones con funciones
- dy
- dy/dx=3*e^(-y)*x^2
- dy/dx+7/x=1/x^2
- dy/dx=(2y+3/4y+5)^2
- dy/dx=(-2x+y^2)-7
- dy=3dx
- dx
- dx/dy=e^2x+3y
- dx/2x+dy/y=0
- dx/dt=x*(-a*x+b)
- dx/dt=tln(tx)
- dx*(4*x^3+y-2*x+y^3)+dy*(x^4+3*x*y^2-3*y^2)=0
Ecuación diferencial dy/dx=(x+y-7)^2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2 --(y(x)) = (-7 + x + y(x)) dx
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x + y{\left(x \right)} - 7\right)^{2}$$
y' = (x + y - 7)^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- \left(x + y{\left(x \right)} - 7\right)^{2} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x + y{\left(x \right)} - 7$$
y porque
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 1$$
sustituimos
$$- x^{2} - 2 x \left(- x + u{\left(x \right)} + 7\right) - \left(- x + u{\left(x \right)} + 7\right)^{2} + 14 u{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \left(- x + u{\left(x \right)} + 7\right) + 49 = 0$$
o
$$- u^{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - u^{2}{\left(x \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- u^{2}{\left(x \right)} - 1$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 1} = - dx$$
o
$$- \frac{du}{u^{2}{\left(x \right)} + 1} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{u^{2} + 1}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \operatorname{atan}{\left(u \right)} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \tan{\left(C_{1} - x \right)}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - x + u{\left(x \right)} + 7$$
$$y1 = y(x) = - x - \tan{\left(C_{1} - x \right)} + 7$$
$$- \left(x + y{\left(x \right)} - 7\right)^{2} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x + y{\left(x \right)} - 7$$
y porque
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 1$$
sustituimos
$$- x^{2} - 2 x \left(- x + u{\left(x \right)} + 7\right) - \left(- x + u{\left(x \right)} + 7\right)^{2} + 14 u{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \left(- x + u{\left(x \right)} + 7\right) + 49 = 0$$
o
$$- u^{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - u^{2}{\left(x \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- u^{2}{\left(x \right)} - 1$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 1} = - dx$$
o
$$- \frac{du}{u^{2}{\left(x \right)} + 1} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{u^{2} + 1}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \operatorname{atan}{\left(u \right)} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \tan{\left(C_{1} - x \right)}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - x + u{\left(x \right)} + 7$$
$$y1 = y(x) = - x - \tan{\left(C_{1} - x \right)} + 7$$
Respuesta
[src]
3 / 2 2 / 2 \ / 2 2\\ 4 / / 2 2\ / 2 \ / / 2 2\ / 2 \\ / 2 \\ 5 / 2 2 / / 2 2\ / 2 \\ / 2 \ / 2 2\ / 2 \ / 2 2 / / 2 2\ / 2 \\ / 2 \ / 2 2\\\
/ 2 \ 2 / / 2 \\ x *\50 + C1 - 14*C1 + 2*(-7 + C1) + \49 + C1 - 14*C1/*\50 + C1 - 14*C1 + 2*(-7 + C1) // x *\-21 + 3*C1 + (-7 + C1)*\50 + C1 - 14*C1 + 2*(-7 + C1) / + \49 + C1 - 14*C1/*\-21 + 3*C1 + (-7 + C1)*\50 + C1 - 14*C1 + 2*(-7 + C1) / + 3*(-7 + C1)*\49 + C1 - 14*C1// + 3*(-7 + C1)*\49 + C1 - 14*C1// x *\100 - 28*C1 + 2*C1 + 7*(-7 + C1) + (-7 + C1)*\-21 + 3*C1 + (-7 + C1)*\50 + C1 - 14*C1 + 2*(-7 + C1) / + 3*(-7 + C1)*\49 + C1 - 14*C1// + \49 + C1 - 14*C1/*\100 - 28*C1 + 2*C1 + 7*(-7 + C1) / + \49 + C1 - 14*C1/*\100 - 28*C1 + 2*C1 + 7*(-7 + C1) + (-7 + C1)*\-21 + 3*C1 + (-7 + C1)*\50 + C1 - 14*C1 + 2*(-7 + C1) / + 3*(-7 + C1)*\49 + C1 - 14*C1// + \49 + C1 - 14*C1/*\100 - 28*C1 + 2*C1 + 7*(-7 + C1) /// / 6\
y(x) = C1 + x*\49 + C1 - 14*C1/ + x *\-7 + C1 + (-7 + C1)*\49 + C1 - 14*C1// + ------------------------------------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + O\x /
3 6 15
$$y{\left(x \right)} = x \left(C_{1}^{2} - 14 C_{1} + 49\right) + x^{2} \left(C_{1} + \left(C_{1} - 7\right) \left(C_{1}^{2} - 14 C_{1} + 49\right) - 7\right) + \frac{x^{3} \left(C_{1}^{2} - 14 C_{1} + 2 \left(C_{1} - 7\right)^{2} + \left(C_{1}^{2} - 14 C_{1} + 49\right) \left(C_{1}^{2} - 14 C_{1} + 2 \left(C_{1} - 7\right)^{2} + 50\right) + 50\right)}{3} + \frac{x^{4} \left(3 C_{1} + 3 \left(C_{1} - 7\right) \left(C_{1}^{2} - 14 C_{1} + 49\right) + \left(C_{1} - 7\right) \left(C_{1}^{2} - 14 C_{1} + 2 \left(C_{1} - 7\right)^{2} + 50\right) + \left(C_{1}^{2} - 14 C_{1} + 49\right) \left(3 C_{1} + 3 \left(C_{1} - 7\right) \left(C_{1}^{2} - 14 C_{1} + 49\right) + \left(C_{1} - 7\right) \left(C_{1}^{2} - 14 C_{1} + 2 \left(C_{1} - 7\right)^{2} + 50\right) - 21\right) - 21\right)}{6} + \frac{x^{5} \left(2 C_{1}^{2} - 28 C_{1} + 7 \left(C_{1} - 7\right)^{2} + \left(C_{1} - 7\right) \left(3 C_{1} + 3 \left(C_{1} - 7\right) \left(C_{1}^{2} - 14 C_{1} + 49\right) + \left(C_{1} - 7\right) \left(C_{1}^{2} - 14 C_{1} + 2 \left(C_{1} - 7\right)^{2} + 50\right) - 21\right) + \left(C_{1}^{2} - 14 C_{1} + 49\right) \left(2 C_{1}^{2} - 28 C_{1} + 7 \left(C_{1} - 7\right)^{2} + 100\right) + \left(C_{1}^{2} - 14 C_{1} + 49\right) \left(2 C_{1}^{2} - 28 C_{1} + 7 \left(C_{1} - 7\right)^{2} + \left(C_{1} - 7\right) \left(3 C_{1} + 3 \left(C_{1} - 7\right) \left(C_{1}^{2} - 14 C_{1} + 49\right) + \left(C_{1} - 7\right) \left(C_{1}^{2} - 14 C_{1} + 2 \left(C_{1} - 7\right)^{2} + 50\right) - 21\right) + \left(C_{1}^{2} - 14 C_{1} + 49\right) \left(2 C_{1}^{2} - 28 C_{1} + 7 \left(C_{1} - 7\right)^{2} + 100\right) + 100\right) + 100\right)}{15} + C_{1} + O\left(x^{6}\right)$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
1st power series
lie group
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 15.642339349557037)
(-5.555555555555555, 494494074302.16876)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 8.427456047434801e+197)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 2.125757255287192e+160)
(7.777777777777779, 8.388243567338116e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)