Sr Examen
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¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación ydx-2xdy=2y^4dy
- Ecuación dy=3dx
- Ecuación xydy-(x^2+y^2)dx=0
- Ecuación y''-4y'+8y=0
- Derivada de:
-
dx/dt
-
Expresiones idénticas
- dx/dt=x*(-a*x+b)
- dx dividir por dt es igual a x multiplicar por ( menos a multiplicar por x más b)
- dx/dt=x(-ax+b)
- dx/dt=x-ax+b
- dx dividir por dt=x*(-a*x+b)
-
Expresiones semejantes
- dx/dt=x*(a*x+b)
- dx/dt=x*(-a*x-b)
-
Expresiones con funciones
- dx
- dx*(4*x^3+y-2*x+y^3)+dy*(x^4+3*x*y^2-3*y^2)=0
- dx/dt=tln(tx)
- dx/dy+(3/y)x=2y
- dxe^x^3
- dx/dy=5*x^2/y^2
- dt
- dt*(3*t+y4)+4*dy*t*y^3=0
- dt=e^y*dy
- dt*(2*t^2*y+y^2)+dy*(2*t^3-t*y)=0
- dt*(e^t+t^2*y)*y-dy*e^t=0
- dt*(t^3+y/t)+dy*(y^2+log(t))=0
Ecuación diferencial dx/dt=x*(-a*x+b)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d --(x(t)) = (b - a*x(t))*x(t) dt
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = \left(- a x{\left(t \right)} + b\right) x{\left(t \right)}$$
x' = (-a*x + b)*x
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = \left(- a x{\left(t \right)} + b\right) x{\left(t \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = \left(- a x{\left(t \right)} + b\right) x{\left(t \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$\left(- a x{\left(t \right)} + b\right) x{\left(t \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{\left(a x{\left(t \right)} - b\right) x{\left(t \right)}} = 1$$
Con esto hemos separado las variables t y x.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dt \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{\left(a x{\left(t \right)} - b\right) x{\left(t \right)}} = dt$$
o
$$- \frac{dx}{\left(a x{\left(t \right)} - b\right) x{\left(t \right)}} = dt$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- \frac{1}{x \left(a x - b\right)}\right)\, dx = \int 1\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x - \frac{b}{a} \right)}}{b} = Const + t$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = \frac{b}{a \left(1 - e^{b \left(C_{1} - t\right)}\right)}$$
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = \left(- a x{\left(t \right)} + b\right) x{\left(t \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(x)*x' = f2(x)*g2(x),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = \left(- a x{\left(t \right)} + b\right) x{\left(t \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(x)/g2(x)*x'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$\left(- a x{\left(t \right)} + b\right) x{\left(t \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{\left(a x{\left(t \right)} - b\right) x{\left(t \right)}} = 1$$
Con esto hemos separado las variables t y x.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dt \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{\left(a x{\left(t \right)} - b\right) x{\left(t \right)}} = dt$$
o
$$- \frac{dx}{\left(a x{\left(t \right)} - b\right) x{\left(t \right)}} = dt$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- \frac{1}{x \left(a x - b\right)}\right)\, dx = \int 1\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x - \frac{b}{a} \right)}}{b} = Const + t$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = \frac{b}{a \left(1 - e^{b \left(C_{1} - t\right)}\right)}$$
Respuesta
[src]
b
x(t) = -------------------
/ b*(C1 - t)\
a*\1 - e /
$$x{\left(t \right)} = \frac{b}{a \left(1 - e^{b \left(C_{1} - t\right)}\right)}$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral