Sr Examen
Ecuación diferencial sinx*tgydx-(dy/sinx)=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
--(y(x))
dx
sin(x)*tan(y(x)) - -------- = 0
sin(x)
$$\sin{\left(x \right)} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} - \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
sin(x)*tan(y) - y'/sin(x) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sin{\left(x \right)} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} - \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \sin^{2}{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx \sin^{2}{\left(x \right)}$$
o
$$- \frac{dy}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx \sin^{2}{\left(x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{\tan{\left(y \right)}}\right)\, dy = \int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(\sin{\left(y \right)} \right)} = Const - \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \pi - \operatorname{asin}{\left(C_{1} e^{\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(C_{1} e^{\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}} \right)}$$
$$\sin{\left(x \right)} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} - \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \sin^{2}{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx \sin^{2}{\left(x \right)}$$
o
$$- \frac{dy}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx \sin^{2}{\left(x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{\tan{\left(y \right)}}\right)\, dy = \int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(\sin{\left(y \right)} \right)} = Const - \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \pi - \operatorname{asin}{\left(C_{1} e^{\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(C_{1} e^{\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ x sin(2*x)\
| - - --------|
| 2 4 |
y(x) = pi - asin\C1*e /
$$y{\left(x \right)} = \pi - \operatorname{asin}{\left(C_{1} e^{\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}} \right)}$$
/ x sin(2*x)\
| - - --------|
| 2 4 |
y(x) = asin\C1*e /
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(C_{1} e^{\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 1.570796335149289)
(-5.555555555555555, 2.17e-322)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 6.971028255580836e+173)
(3.333333333333334, 3.1933833808213398e-248)
(5.555555555555557, 2.5910489201161894e+184)
(7.777777777777779, 8.388243566974613e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)