Sr Examen
Ecuación diferencial ydy=(2x^2-x+3)dx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2 --(y(x))*y(x) = 3 - x + 2*x dx
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 2 x^{2} - x + 3$$
y*y' = 2*x^2 - x + 3
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 2 x^{2} - x + 3$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - 2 x^{2} + x - 3$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - 2 x^{2} + x - 3$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(- 2 x^{2} + x - 3\right)$$
o
$$- dy y{\left(x \right)} = dx \left(- 2 x^{2} + x - 3\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y\right)\, dy = \int \left(- 2 x^{2} + x - 3\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{2}}{2} = Const - \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 12 x^{3} - 9 x^{2} + 54 x}}{3}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 12 x^{3} - 9 x^{2} + 54 x}}{3}$$
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 2 x^{2} - x + 3$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - 2 x^{2} + x - 3$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - 2 x^{2} + x - 3$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(- 2 x^{2} + x - 3\right)$$
o
$$- dy y{\left(x \right)} = dx \left(- 2 x^{2} + x - 3\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y\right)\, dy = \int \left(- 2 x^{2} + x - 3\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{2}}{2} = Const - \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 12 x^{3} - 9 x^{2} + 54 x}}{3}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 12 x^{3} - 9 x^{2} + 54 x}}{3}$$
Respuesta
[src]
__________________________
/ 2 3
-\/ C1 - 9*x + 12*x + 54*x
y(x) = -------------------------------
3
$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 12 x^{3} - 9 x^{2} + 54 x}}{3}$$
__________________________
/ 2 3
\/ C1 - 9*x + 12*x + 54*x
y(x) = -----------------------------
3
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 12 x^{3} - 9 x^{2} + 54 x}}{3}$$
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral