Ecuación diferencial dy/dx=e^x*e^y

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{x} e^{y{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - e^{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - e^{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- e^{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- e^{- y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - e^{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx e^{- y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx e^{x}$$
o
$$- dy e^{- y{\left(x \right)}} = - dx e^{x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- e^{- y}\right)\, dy = \int \left(- e^{x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$e^{- y} = Const - e^{x}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(- \frac{1}{C_{1} + e^{x}} \right)}$$