Sr Examen
Ecuación diferencial sqr(4+y^2)dx-ydy=x^2ydy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
4 2 d 2 d
16 + y (x) + 8*y (x) - --(y(x))*y(x) = x *--(y(x))*y(x)
dx dx
$$y^{4}{\left(x \right)} + 8 y^{2}{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 16 = x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
y^4 + 8*y^2 - y*y' + 16 = x^2*y*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{4}{\left(x \right)} + 8 y^{2}{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 16 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y^{4}{\left(x \right)} + 8 y^{2}{\left(x \right)} + 16}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y^{4}{\left(x \right)} + 8 y^{2}{\left(x \right)} + 16}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{4}{\left(x \right)} + 8 y^{2}{\left(x \right)} + 16} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{4}{\left(x \right)} + 8 y^{2}{\left(x \right)} + 16} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
o
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{y^{4}{\left(x \right)} + 8 y^{2}{\left(x \right)} + 16} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y}{y^{4} + 8 y^{2} + 16}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{2 y^{2} + 8} = Const - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{- 8 C_{1} - 8 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - 1}{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{- 8 C_{1} - 8 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - 1}{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}}}{2}$$
$$- x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{4}{\left(x \right)} + 8 y^{2}{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 16 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y^{4}{\left(x \right)} + 8 y^{2}{\left(x \right)} + 16}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y^{4}{\left(x \right)} + 8 y^{2}{\left(x \right)} + 16}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{4}{\left(x \right)} + 8 y^{2}{\left(x \right)} + 16} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{4}{\left(x \right)} + 8 y^{2}{\left(x \right)} + 16} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
o
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{y^{4}{\left(x \right)} + 8 y^{2}{\left(x \right)} + 16} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y}{y^{4} + 8 y^{2} + 16}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{2 y^{2} + 8} = Const - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{- 8 C_{1} - 8 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - 1}{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{- 8 C_{1} - 8 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - 1}{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}}}{2}$$
Respuesta
[src]
_______________________
___ / -1 - 8*C1 - 8*atan(x)
\/ 2 * / ---------------------
\/ C1 + atan(x)
y(x) = ---------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{- 8 C_{1} - 8 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - 1}{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}}}{2}$$
_______________________
___ / -1 - 8*C1 - 8*atan(x)
-\/ 2 * / ---------------------
\/ C1 + atan(x)
y(x) = -----------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{- 8 C_{1} - 8 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - 1}{C_{1} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}}}{2}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 1.4640454967953243)
(-5.555555555555555, 3.4704150776781075)
(-3.333333333333333, 99861.53665133173)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 6.971028255580836e+173)
(3.333333333333334, 3.1933833808213398e-248)
(5.555555555555557, 6.446773053330691e-67)
(7.777777777777779, 8.388243566956022e+296)
(10.0, 3.4850068345956685e-196)
(10.0, 3.4850068345956685e-196)