Sr Examen
Ecuación diferencial sqr(y)*sin^2*dx+dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 2
sin (dx)*y (x) d
-------------- + --(y(x)) = 0
dx dx
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{y^{2}{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(dx \right)}}{dx} = 0$$
y' + y^2*sin(dx)^2/dx = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{y^{2}{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(dx \right)}}{dx} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(dx \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y^{2}{\left(x \right)}}{dx}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y^{2}{\left(x \right)}}{dx}$$
obtendremos
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \sin^{2}{\left(dx \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - dx \sin^{2}{\left(dx \right)}$$
o
$$\frac{dx dy}{y^{2}{\left(x \right)}} = - dx \sin^{2}{\left(dx \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{dx}{y^{2}}\, dy = \int \left(- \sin^{2}{\left(dx \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{dx}{y} = Const - x \sin^{2}{\left(dx \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{dx}{C_{1} dx + x \sin^{2}{\left(dx \right)}}$$
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{y^{2}{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(dx \right)}}{dx} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(dx \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y^{2}{\left(x \right)}}{dx}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y^{2}{\left(x \right)}}{dx}$$
obtendremos
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \sin^{2}{\left(dx \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - dx \sin^{2}{\left(dx \right)}$$
o
$$\frac{dx dy}{y^{2}{\left(x \right)}} = - dx \sin^{2}{\left(dx \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{dx}{y^{2}}\, dy = \int \left(- \sin^{2}{\left(dx \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{dx}{y} = Const - x \sin^{2}{\left(dx \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{dx}{C_{1} dx + x \sin^{2}{\left(dx \right)}}$$
Respuesta
[src]
dx
y(x) = ------------------
2
C1*dx + x*sin (dx)
$$y{\left(x \right)} = \frac{dx}{C_{1} dx + x \sin^{2}{\left(dx \right)}}$$
Clasificación
separable
1st exact
Riccati special minus2
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral