Ecuación diferencial dy/dt+1/ty=t^3/y

Tenemos la ecuación:
$$- \frac{t^{3}}{y{\left(t \right)}} + \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} + \frac{y{\left(t \right)}}{t} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(t \right)} = t y{\left(t \right)}$$
y porque
$$y{\left(t \right)} = \frac{u{\left(t \right)}}{t}$$
entonces
$$\frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = \frac{\frac{d}{d t} u{\left(t \right)}}{t} - \frac{u{\left(t \right)}}{t^{2}}$$
sustituimos
$$- \frac{t^{4}}{u{\left(t \right)}} + \frac{d}{d t} \frac{u{\left(t \right)}}{t} + \frac{u{\left(t \right)}}{t^{2}} = 0$$
o
$$- \frac{t^{4}}{u{\left(t \right)}} + \frac{\frac{d}{d t} u{\left(t \right)}}{t} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - t^{5}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{1}{u{\left(t \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{1}{u{\left(t \right)}}$$
obtendremos
$$- u{\left(t \right)} \frac{d}{d t} u{\left(t \right)} = - t^{5}$$
Con esto hemos separado las variables t y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- dt u{\left(t \right)} \frac{d}{d t} u{\left(t \right)} = - dt t^{5}$$
o
$$- du u{\left(t \right)} = - dt t^{5}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- u\right)\, du = \int \left(- t^{5}\right)\, dt$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con t
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u^{2}}{2} = Const - \frac{t^{6}}{6}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(t \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} + 3 t^{6}}}{3}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(t \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} + 3 t^{6}}}{3}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(t \right)} = \frac{u{\left(t \right)}}{t}$$
$$y1 = y(t) = - \frac{\sqrt{C_{1} + 3 t^{6}}}{3 t}$$
$$y2 = y(t) = \frac{\sqrt{C_{1} + 3 t^{6}}}{3 t}$$