Ecuación diferencial dy/dx=(1)+e^(y-x+5)

Tenemos la ecuación:
$$- e^{- x + y{\left(x \right)} + 5} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = - x + y{\left(x \right)} + 5$$
y porque
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + 1$$
sustituimos
$$\frac{d}{d x} \left(x + u{\left(x \right)} - 5\right) - 1 - e^{5} e^{- x} e^{x + u{\left(x \right)} - 5} = 0$$
o
$$- e^{u{\left(x \right)}} + \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = e^{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$e^{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$e^{- u{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx e^{- u{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = dx$$
o
$$du e^{- u{\left(x \right)}} = dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int e^{- u}\, du = \int 1\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- e^{- u} = Const + x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \log{\left(- \frac{1}{C_{1} + x} \right)}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x + u{\left(x \right)} - 5$$
$$y1 = y(x) = x + \log{\left(- \frac{1}{C_{1} + x} \right)} - 5$$