Sr Examen
Ecuación diferencial (2x+ycos(xy))dx+xcos(xy)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
2*x + cos(x*y(x))*y(x) + x*--(y(x))*cos(x*y(x)) = 0
dx
$$x \cos{\left(x y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 x + y{\left(x \right)} \cos{\left(x y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
x*cos(x*y)*y' + 2*x + y*cos(x*y) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \cos{\left(x y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 x + y{\left(x \right)} \cos{\left(x y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$x \cos{\left(u{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + 2 x + \frac{u{\left(x \right)} \cos{\left(u{\left(x \right)} \right)}}{x} = 0$$
o
$$2 x + \cos{\left(u{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - 2 x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos{\left(u{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{1}{\cos{\left(u{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\cos{\left(u{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - 2 x$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \cos{\left(u{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - 2 dx x$$
o
$$du \cos{\left(u{\left(x \right)} \right)} = - 2 dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \cos{\left(u \right)}\, du = \int \left(- 2 x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\sin{\left(u \right)} = Const - x^{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \pi - \operatorname{asin}{\left(C_{1} - x^{2} \right)}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(C_{1} - x^{2} \right)}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{\pi - \operatorname{asin}{\left(C_{1} - x^{2} \right)}}{x}$$
$$y2 = y(x) = \frac{\operatorname{asin}{\left(C_{1} - x^{2} \right)}}{x}$$
$$x \cos{\left(x y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 x + y{\left(x \right)} \cos{\left(x y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$x \cos{\left(u{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + 2 x + \frac{u{\left(x \right)} \cos{\left(u{\left(x \right)} \right)}}{x} = 0$$
o
$$2 x + \cos{\left(u{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - 2 x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos{\left(u{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{1}{\cos{\left(u{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\cos{\left(u{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - 2 x$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \cos{\left(u{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - 2 dx x$$
o
$$du \cos{\left(u{\left(x \right)} \right)} = - 2 dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \cos{\left(u \right)}\, du = \int \left(- 2 x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\sin{\left(u \right)} = Const - x^{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \pi - \operatorname{asin}{\left(C_{1} - x^{2} \right)}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(C_{1} - x^{2} \right)}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{\pi - \operatorname{asin}{\left(C_{1} - x^{2} \right)}}{x}$$
$$y2 = y(x) = \frac{\operatorname{asin}{\left(C_{1} - x^{2} \right)}}{x}$$
Respuesta
[src]
/ / 2\ / 2\
|pi asin\C1 - x / asin\C1 - x / pi
|-- - ------------- for ------------- - -- != 0
y(x) =
$$y{\left(x \right)} = \begin{cases} - \frac{\operatorname{asin}{\left(C_{1} - x^{2} \right)}}{x} + \frac{\pi}{x} & \text{for}\: \frac{\operatorname{asin}{\left(C_{1} - x^{2} \right)}}{x} - \frac{\pi}{x} \neq 0 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}$$
/ / 2\ / 2\
|asin\C1 - x / asin\C1 - x /
|------------- for ------------- != 0
y(x) = < x x
|
| nan otherwise
\
$$y{\left(x \right)} = \begin{cases} \frac{\operatorname{asin}{\left(C_{1} - x^{2} \right)}}{x} & \text{for}\: \frac{\operatorname{asin}{\left(C_{1} - x^{2} \right)}}{x} \neq 0 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}$$
/ C1 C1
|-x + -- for -x + -- = 0
y(x) = < x x
|
\ nan otherwise
$$y{\left(x \right)} = \begin{cases} \frac{C_{1}}{x} - x & \text{for}\: \frac{C_{1}}{x} - x = 0 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Clasificación
1st exact
lie group
1st exact Integral