Sr Examen
Ecuación diferencial xcos^2(y)dx+e^xdy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d x
x*cos (y(x)) + --(y(x))*e = 0
dx
$$x \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} + e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x*cos(y)^2 + exp(x)*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} + e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x e^{- x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - x e^{- x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx x e^{- x}$$
o
$$\frac{dy}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx x e^{- x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\cos^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int \left(- x e^{- x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\sin{\left(y \right)}}{\cos{\left(y \right)}} = Const + \left(x + 1\right) e^{- x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{C_{1}^{2} e^{2 x} + 2 C_{1} x e^{x} + 2 C_{1} e^{x} + x^{2} + 2 x + e^{2 x} + 1} - e^{x}}{C_{1} e^{x} + x + 1} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{C_{1}^{2} e^{2 x} + 2 C_{1} x e^{x} + 2 C_{1} e^{x} + x^{2} + 2 x + e^{2 x} + 1} + e^{x}}{C_{1} e^{x} + x + 1} \right)}$$
$$x \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} + e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x e^{- x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - x e^{- x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx x e^{- x}$$
o
$$\frac{dy}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx x e^{- x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\cos^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int \left(- x e^{- x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\sin{\left(y \right)}}{\cos{\left(y \right)}} = Const + \left(x + 1\right) e^{- x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{C_{1}^{2} e^{2 x} + 2 C_{1} x e^{x} + 2 C_{1} e^{x} + x^{2} + 2 x + e^{2 x} + 1} - e^{x}}{C_{1} e^{x} + x + 1} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{C_{1}^{2} e^{2 x} + 2 C_{1} x e^{x} + 2 C_{1} e^{x} + x^{2} + 2 x + e^{2 x} + 1} + e^{x}}{C_{1} e^{x} + x + 1} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ ______________________________________________________ \
| / 2 2 2*x x x 2*x x|
|\/ 1 + x + 2*x + C1 *e + 2*C1*e + 2*C1*x*e + e - e |
y(x) = 2*atan|--------------------------------------------------------------|
| x |
\ 1 + x + C1*e /
$$y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{C_{1}^{2} e^{2 x} + 2 C_{1} x e^{x} + 2 C_{1} e^{x} + x^{2} + 2 x + e^{2 x} + 1} - e^{x}}{C_{1} e^{x} + x + 1} \right)}$$
/ ______________________________________________________ \
| / 2 2 2*x x x 2*x x|
|\/ 1 + x + 2*x + C1 *e + 2*C1*e + 2*C1*x*e + e + e |
y(x) = -2*atan|--------------------------------------------------------------|
| x |
\ 1 + x + C1*e /
$$y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{C_{1}^{2} e^{2 x} + 2 C_{1} x e^{x} + 2 C_{1} e^{x} + x^{2} + 2 x + e^{2 x} + 1} + e^{x}}{C_{1} e^{x} + x + 1} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 1.570790827454585)
(-5.555555555555555, 1.5707912371086281)
(-3.333333333333333, 1.5707912634511496)
(-1.1111111111111107, 1.5707912664476542)
(1.1111111111111107, 1.5707912666124002)
(3.333333333333334, 1.5707912666058763)
(5.555555555555557, 1.5707912666013935)
(7.777777777777779, 1.5707912665994193)
(10.0, 1.5707912665976183)
(10.0, 1.5707912665976183)