Sr Examen
Ecuación diferencial xdy=dx/y^2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 1
x*--(y(x)) = -----
dx 2
y (x)
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
x*y' = y^(-2)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- dy y^{2}{\left(x \right)} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y^{2}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{3}}{3} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} + 3 \log{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \log{\left(x \right)}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \log{\left(x \right)}}}{2}$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- dy y^{2}{\left(x \right)} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- y^{2}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{3}}{3} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} + 3 \log{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \log{\left(x \right)}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \log{\left(x \right)}}}{2}$$
Respuesta
[src]
3 _______________ y(x) = \/ C1 + 3*log(x)
$$y{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} + 3 \log{\left(x \right)}}$$
3 _____________ / 3 ___ 5/6\
\/ C1 + log(x) *\- \/ 3 - I*3 /
y(x) = ----------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \log{\left(x \right)}}}{2}$$
3 _____________ / 3 ___ 5/6\
\/ C1 + log(x) *\- \/ 3 + I*3 /
y(x) = ----------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\left(- \sqrt[3]{3} + 3^{\frac{5}{6}} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \log{\left(x \right)}}}{2}$$
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
separable reduced
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
separable reduced Integral