Ecuación diferencial dx/dt=-k(a-x)

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = - k \left(a - x{\left(t \right)}\right)$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(x)*x' = f2(x)*g2(x),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = k$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = - a + x{\left(t \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(x)/g2(x)*x'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$- a + x{\left(t \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{a - x{\left(t \right)}} = k$$
Con esto hemos separado las variables t y x.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dt \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{a - x{\left(t \right)}} = dt k$$
o
$$- \frac{dx}{a - x{\left(t \right)}} = dt k$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- \frac{1}{a - x}\right)\, dx = \int k\, dt$$
Solución detallada de la integral con x
Solución detallada de la integral con t
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(- a + x \right)} = Const + k t$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = C_{1} e^{k t} + a$$