Ecuación diferencial dy*lny=e^(2x)dx

Tenemos la ecuación:
$$\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{2 x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = e^{2 x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{2 x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx e^{2 x}$$
o
$$dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} = dx e^{2 x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \log{\left(y \right)}\, dy = \int e^{2 x}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$y \log{\left(y \right)} - y = Const + \frac{e^{2 x}}{2}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{W\left(C_{1} + \frac{e^{2 x - 1}}{2}\right) + 1}$$