Sr Examen
Ecuación diferencial cos^2ydx-x^4dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 4 d
cos (y(x)) - x *--(y(x)) = 0
dx
$$- x^{4} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
-x^4*y' + cos(y)^2 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- x^{4} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{4}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{1}{x^{4}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx}{x^{4}}$$
o
$$\frac{dy}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx}{x^{4}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\cos^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int \frac{1}{x^{4}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\sin{\left(y \right)}}{\cos{\left(y \right)}} = Const - \frac{1}{3 x^{3}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x^{3} - \sqrt{9 C_{1}^{2} x^{6} - 6 C_{1} x^{3} + 9 x^{6} + 1}}{3 C_{1} x^{3} - 1} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x^{3} + \sqrt{9 C_{1}^{2} x^{6} - 6 C_{1} x^{3} + 9 x^{6} + 1}}{3 C_{1} x^{3} - 1} \right)}$$
$$- x^{4} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{4}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{1}{x^{4}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx}{x^{4}}$$
o
$$\frac{dy}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx}{x^{4}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\cos^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int \frac{1}{x^{4}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\sin{\left(y \right)}}{\cos{\left(y \right)}} = Const - \frac{1}{3 x^{3}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x^{3} - \sqrt{9 C_{1}^{2} x^{6} - 6 C_{1} x^{3} + 9 x^{6} + 1}}{3 C_{1} x^{3} - 1} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x^{3} + \sqrt{9 C_{1}^{2} x^{6} - 6 C_{1} x^{3} + 9 x^{6} + 1}}{3 C_{1} x^{3} - 1} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ _______________________________ \
| / 6 3 2 6 3|
|- \/ 1 + 9*x - 6*C1*x + 9*C1 *x + 3*x |
y(x) = -2*atan|-------------------------------------------|
| 3 |
\ -1 + 3*C1*x /
$$y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x^{3} - \sqrt{9 C_{1}^{2} x^{6} - 6 C_{1} x^{3} + 9 x^{6} + 1}}{3 C_{1} x^{3} - 1} \right)}$$
/ _______________________________ \
| / 6 3 2 6 3|
|\/ 1 + 9*x - 6*C1*x + 9*C1 *x + 3*x |
y(x) = -2*atan|-----------------------------------------|
| 3 |
\ -1 + 3*C1*x /
$$y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x^{3} + \sqrt{9 C_{1}^{2} x^{6} - 6 C_{1} x^{3} + 9 x^{6} + 1}}{3 C_{1} x^{3} - 1} \right)}$$
Clasificación
factorable
separable
lie group
separable Integral