Sr Examen

Ecuación diferencial (1/x)dy-(y/x^2)dx=0

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
d                  
--(y(x))           
dx         y(x)    
-------- - ---- = 0
   x         2     
            x      
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x} - \frac{y{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
y'/x - y/x^2 = 0
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y':
$$\frac{1}{x}$$
Recibimos la ecuación:
$$x \left(\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x} - \frac{y{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y' + P(x)y = 0,

donde
$$P{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
y
y se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Es una ecuación con variables separables.
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
De y' + P(x)y = 0 obtenemos

$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \log{\left(x \right)} + Const$$
Solución detallada de la integral
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = x e^{C_{1}}$$
$$y_{2} = - x e^{C_{2}}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = C x$$
Clasificación
separable
1st exact
1st linear
Bernoulli
almost linear
lie group
nth linear euler eq homogeneous
separable Integral
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral