Sr Examen
Ecuación diferencial x^2*dy=2xsqrt(y^2+4)*dx-dy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
___________ 2 d d / 2 x *--(y(x)) = - --(y(x)) + 2*x*\/ 4 + y (x) dx dx
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 2 x \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
x^2*y' = 2*x*sqrt(y^2 + 4) - y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 x \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4}} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4}} = \frac{2 dx x}{x^{2} + 1}$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4}} = \frac{2 dx x}{x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{y^{2} + 4}}\, dy = \int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\operatorname{asinh}{\left(\frac{y}{2} \right)} = Const + \log{\left(x^{2} + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 \sinh{\left(C_{1} + \log{\left(x^{2} + 1 \right)} \right)}$$
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 x \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4}} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4}} = \frac{2 dx x}{x^{2} + 1}$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 4}} = \frac{2 dx x}{x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{y^{2} + 4}}\, dy = \int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\operatorname{asinh}{\left(\frac{y}{2} \right)} = Const + \log{\left(x^{2} + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 \sinh{\left(C_{1} + \log{\left(x^{2} + 1 \right)} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ / 2\\ y(x) = 2*sinh\C1 + log\1 + x //
$$y{\left(x \right)} = 2 \sinh{\left(C_{1} + \log{\left(x^{2} + 1 \right)} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, -0.25964210169108887)
(-5.555555555555555, -1.7413568888475652)
(-3.333333333333333, -5.606210669927974)
(-1.1111111111111107, -31.290934772884782)
(1.1111111111111107, -31.29094027514421)
(3.333333333333334, -5.606211395316851)
(5.555555555555557, -1.741357558335726)
(7.777777777777779, -0.2596427011189558)
(10.0, 0.7499993350548736)
(10.0, 0.7499993350548736)