Ecuación diferencial dy/dx=y^(2/3)-y

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{\frac{2}{3}}{\left(x \right)} - y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{\frac{2}{3}}{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{\frac{2}{3}}{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{- y^{\frac{2}{3}}{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{- y^{\frac{2}{3}}{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}} = - dx$$
o
$$\frac{dy}{- y^{\frac{2}{3}}{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}} = - dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{- y^{\frac{2}{3}} + y}\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$3 \log{\left(\sqrt[3]{y} - 1 \right)} = Const - x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 3 e^{\frac{C_{1}}{3} - \frac{x}{3}} + 3 e^{\frac{2 C_{1}}{3} - \frac{2 x}{3}} + e^{C_{1} - x} + 1$$