Sr Examen
Ecuación diferencial xdx+(y+5)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d d
x + 5*--(y(x)) + --(y(x))*y(x) = 0
dx dx
$$x + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 5 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x + y*y' + 5*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 5 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)} + 5}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)} + 5}$$
obtendremos
$$\left(y{\left(x \right)} + 5\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \left(y{\left(x \right)} + 5\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx x$$
o
$$dy \left(y{\left(x \right)} + 5\right) = - dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(y + 5\right)\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} + 5 y = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - x^{2}} - 5$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - x^{2}} - 5$$
$$x + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 5 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)} + 5}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)} + 5}$$
obtendremos
$$\left(y{\left(x \right)} + 5\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \left(y{\left(x \right)} + 5\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx x$$
o
$$dy \left(y{\left(x \right)} + 5\right) = - dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(y + 5\right)\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} + 5 y = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - x^{2}} - 5$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - x^{2}} - 5$$
Respuesta
[src]
_________
/ 2
y(x) = -5 - \/ C1 - x
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - x^{2}} - 5$$
_________
/ 2
y(x) = -5 + \/ C1 - x
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - x^{2}} - 5$$
Clasificación
separable
1st exact
linear coefficients
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
linear coefficients Integral