Sr Examen
Ecuación diferencial y'*cos(x)=y/lny
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d y(x) --(y(x))*cos(x) = --------- dx log(y(x))
$$\cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
cos(x)*y' = y/log(y)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{\cos{\left(x \right)}}$$
o
$$- \frac{dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{\cos{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\log{\left(y \right)}}{y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(y \right)}^{2}}{2} = Const + \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{- \sqrt{C_{1} - \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = e^{\sqrt{C_{1} - \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}}$$
$$\cos{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{\cos{\left(x \right)}}$$
o
$$- \frac{dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{\cos{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\log{\left(y \right)}}{y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(y \right)}^{2}}{2} = Const + \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{- \sqrt{C_{1} - \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = e^{\sqrt{C_{1} - \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}}$$
Respuesta
[src]
_________________________________________
-\/ C1 - log(-1 + sin(x)) + log(1 + sin(x))
y(x) = e
$$y{\left(x \right)} = e^{- \sqrt{C_{1} - \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}}$$
_________________________________________
\/ C1 - log(-1 + sin(x)) + log(1 + sin(x))
y(x) = e
$$y{\left(x \right)} = e^{\sqrt{C_{1} - \log{\left(\sin{\left(x \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \right)}}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 1.0000000062242194)
(-5.555555555555555, 6.9303486614655e-310)
(-3.333333333333333, 6.9303486599501e-310)
(-1.1111111111111107, 6.9303486623872e-310)
(1.1111111111111107, 6.93056692442215e-310)
(3.333333333333334, 6.9303486623904e-310)
(5.555555555555557, 6.9303486596489e-310)
(7.777777777777779, 6.9305661498189e-310)
(10.0, 6.9305668894494e-310)
(10.0, 6.9305668894494e-310)