Ecuación diferencial sqrt(x)*y'=(x+1)/sqrt(y)

Tenemos la ecuación:
$$\sqrt{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{x + 1}{\sqrt{y{\left(x \right)}}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{x + 1}{\sqrt{x}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\sqrt{y{\left(x \right)}}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\sqrt{y{\left(x \right)}}}$$
obtendremos
$$\sqrt{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{x + 1}{\sqrt{x}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \sqrt{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx \left(x + 1\right)}{\sqrt{x}}$$
o
$$dy \sqrt{y{\left(x \right)}} = \frac{dx \left(x + 1\right)}{\sqrt{x}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \sqrt{y}\, dy = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} = Const + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{x}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \left(C_{1} + x^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{x}\right)^{\frac{2}{3}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \left(C_{1} + x^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{x}\right)^{\frac{2}{3}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \left(C_{1} + x^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{x}\right)^{\frac{2}{3}}$$