Sr Examen
Ecuación diferencial (3*(e^x)*tan(y))dx+(1+(e^x))dy/(cos(y))^2=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d d x --(y(x)) --(y(x))*e dx x dx ---------- + 3*e *tan(y(x)) + ----------- = 0 2 2 cos (y(x)) cos (y(x))
$$3 e^{x} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \frac{e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = 0$$
3*exp(x)*tan(y) + exp(x)*y'/cos(y)^2 + y'/cos(y)^2 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$3 e^{x} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \frac{e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{3 e^{x}}{2 e^{x} + 2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{3 e^{x}}{2 e^{x} + 2}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{3 dx e^{x}}{2 e^{x} + 2}$$
o
$$\frac{dy}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{3 dx e^{x}}{2 e^{x} + 2}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin{\left(2 y \right)}}\, dy = \int \left(- \frac{3 e^{x}}{2 e^{x} + 2}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} + 1 \right)}}{4} = Const - \frac{3 \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{C_{1} + e^{6 x} + 6 e^{5 x} + 15 e^{4 x} + 20 e^{3 x} + 15 e^{2 x} + 6 e^{x} + 1}{- C_{1} + e^{6 x} + 6 e^{5 x} + 15 e^{4 x} + 20 e^{3 x} + 15 e^{2 x} + 6 e^{x} + 1} \right)}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{C_{1} + e^{6 x} + 6 e^{5 x} + 15 e^{4 x} + 20 e^{3 x} + 15 e^{2 x} + 6 e^{x} + 1}{- C_{1} + e^{6 x} + 6 e^{5 x} + 15 e^{4 x} + 20 e^{3 x} + 15 e^{2 x} + 6 e^{x} + 1} \right)}}{2}$$
$$3 e^{x} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \frac{e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{3 e^{x}}{2 e^{x} + 2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{3 e^{x}}{2 e^{x} + 2}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{3 dx e^{x}}{2 e^{x} + 2}$$
o
$$\frac{dy}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{3 dx e^{x}}{2 e^{x} + 2}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin{\left(2 y \right)}}\, dy = \int \left(- \frac{3 e^{x}}{2 e^{x} + 2}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} + 1 \right)}}{4} = Const - \frac{3 \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{C_{1} + e^{6 x} + 6 e^{5 x} + 15 e^{4 x} + 20 e^{3 x} + 15 e^{2 x} + 6 e^{x} + 1}{- C_{1} + e^{6 x} + 6 e^{5 x} + 15 e^{4 x} + 20 e^{3 x} + 15 e^{2 x} + 6 e^{x} + 1} \right)}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{C_{1} + e^{6 x} + 6 e^{5 x} + 15 e^{4 x} + 20 e^{3 x} + 15 e^{2 x} + 6 e^{x} + 1}{- C_{1} + e^{6 x} + 6 e^{5 x} + 15 e^{4 x} + 20 e^{3 x} + 15 e^{2 x} + 6 e^{x} + 1} \right)}}{2}$$
Respuesta
[src]
/ x 5*x 2*x 4*x 3*x 6*x\
|1 + C1 + 6*e + 6*e + 15*e + 15*e + 20*e + e |
acos|-----------------------------------------------------------|
| x 5*x 2*x 4*x 3*x 6*x|
\1 - C1 + 6*e + 6*e + 15*e + 15*e + 20*e + e /
y(x) = pi - -----------------------------------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{C_{1} + e^{6 x} + 6 e^{5 x} + 15 e^{4 x} + 20 e^{3 x} + 15 e^{2 x} + 6 e^{x} + 1}{- C_{1} + e^{6 x} + 6 e^{5 x} + 15 e^{4 x} + 20 e^{3 x} + 15 e^{2 x} + 6 e^{x} + 1} \right)}}{2}$$
/ x 5*x 2*x 4*x 3*x 6*x\
|1 + C1 + 6*e + 6*e + 15*e + 15*e + 20*e + e |
acos|-----------------------------------------------------------|
| x 5*x 2*x 4*x 3*x 6*x|
\1 - C1 + 6*e + 6*e + 15*e + 15*e + 20*e + e /
y(x) = -----------------------------------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{C_{1} + e^{6 x} + 6 e^{5 x} + 15 e^{4 x} + 20 e^{3 x} + 15 e^{2 x} + 6 e^{x} + 1}{- C_{1} + e^{6 x} + 6 e^{5 x} + 15 e^{4 x} + 20 e^{3 x} + 15 e^{2 x} + 6 e^{x} + 1} \right)}}{2}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st exact
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
almost linear Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.7494411520778544)
(-5.555555555555555, 0.7442968783283713)
(-3.333333333333333, 0.6979093566417757)
(-1.1111111111111107, 0.37770588695423823)
(1.1111111111111107, 0.014152886137220716)
(3.333333333333334, 3.807749615609487e-05)
(5.555555555555557, 5.153387324045131e-08)
(7.777777777777779, -4.4527843359174754e-10)
(10.0, -1.022655820431305e-10)
(10.0, -1.022655820431305e-10)