Sr Examen
Ecuación diferencial (x^2+16)dy=(25-y^2)^1/2dx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
____________ d 2 d / 2 16*--(y(x)) + x *--(y(x)) = \/ 25 - y (x) dx dx
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 16 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sqrt{25 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
x^2*y' + 16*y' = sqrt(25 - y^2)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 16 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sqrt{25 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 16}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{25 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{25 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{25 - y^{2}{\left(x \right)}}} = \frac{1}{x^{2} + 16}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{25 - y^{2}{\left(x \right)}}} = \frac{dx}{x^{2} + 16}$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{25 - y^{2}{\left(x \right)}}} = \frac{dx}{x^{2} + 16}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{25 - y^{2}}}\, dy = \int \frac{1}{x^{2} + 16}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\operatorname{asin}{\left(\frac{y}{5} \right)} = Const + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 5 \sin{\left(C_{1} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4} \right)}$$
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 16 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sqrt{25 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 16}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{25 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{25 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{25 - y^{2}{\left(x \right)}}} = \frac{1}{x^{2} + 16}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{25 - y^{2}{\left(x \right)}}} = \frac{dx}{x^{2} + 16}$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{25 - y^{2}{\left(x \right)}}} = \frac{dx}{x^{2} + 16}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{25 - y^{2}}}\, dy = \int \frac{1}{x^{2} + 16}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\operatorname{asin}{\left(\frac{y}{5} \right)} = Const + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 5 \sin{\left(C_{1} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ /x\\
| atan|-||
| \4/|
y(x) = 5*sin|C1 + -------|
\ 4 /
$$y{\left(x \right)} = 5 \sin{\left(C_{1} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.8665737999544781)
(-5.555555555555555, 1.0493765702417273)
(-3.333333333333333, 1.355117498068036)
(-1.1111111111111107, 1.8564783261549302)
(1.1111111111111107, 2.466491483051154)
(3.333333333333334, 2.9125989208519307)
(5.555555555555557, 3.1627224383951007)
(7.777777777777779, 3.3047616939102666)
(10.0, 3.392479552240856)
(10.0, 3.392479552240856)