Sr Examen
Ecuación diferencial (dy/dx)+y/x=y^2*lnx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
y(x) d 2 ---- + --(y(x)) = y (x)*log(x) x dx
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{y{\left(x \right)}}{x} = y^{2}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)}$$
y' + y/x = y^2*log(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- y^{2}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{y{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$\frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u^{2}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
o
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u^{2}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = u^{2}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$u^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)}} = \frac{dx \log{\left(x \right)}}{x}$$
o
$$\frac{du}{u^{2}{\left(x \right)}} = \frac{dx \log{\left(x \right)}}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{u} = Const + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \frac{2}{C_{1} + \log{\left(x \right)}^{2}}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = - \frac{2}{x \left(C_{1} + \log{\left(x \right)}^{2}\right)}$$
$$- y^{2}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{y{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$\frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u^{2}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
o
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u^{2}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = u^{2}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$u^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)}} = \frac{dx \log{\left(x \right)}}{x}$$
o
$$\frac{du}{u^{2}{\left(x \right)}} = \frac{dx \log{\left(x \right)}}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{u} = Const + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \frac{2}{C_{1} + \log{\left(x \right)}^{2}}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = - \frac{2}{x \left(C_{1} + \log{\left(x \right)}^{2}\right)}$$
Respuesta
[src]
2
y(x) = ----------------
/ 2 \
x*\C1 - log (x)/
$$y{\left(x \right)} = \frac{2}{x \left(C_{1} - \log{\left(x \right)}^{2}\right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
Bernoulli
lie group
Bernoulli Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)