Sr Examen

Ecuación diferencial ydx=(y+x/(y+1))dy

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
  d               x(y)
y*--(x(y)) = y + -----
  dy             1 + y
$$y \frac{d}{d y} x{\left(y \right)} = y + \frac{x{\left(y \right)}}{y + 1}$$
y*x' = y + x/(y + 1)
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y':
$$y$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{d}{d y} x{\left(y \right)} = \frac{y + \frac{x{\left(y \right)}}{y + 1}}{y}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y' + P(x)y = Q(x)

donde
$$P{\left(y \right)} = - \frac{1}{y \left(y + 1\right)}$$
y
$$Q{\left(y \right)} = 1$$
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y' + P(x)y = 0

con variables separables
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
De y' + P(x)y = 0 obtenemos

$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(y \right)} = - \frac{1}{y \left(y + 1\right)}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \left(- \frac{1}{y \left(y + 1\right)}\right)\, dy = \left(- \log{\left(y \right)} + \log{\left(y + 1 \right)}\right) + Const$$
Solución detallada de la integral
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = \frac{y e^{C_{1}}}{y + 1}$$
$$y_{2} = - \frac{y e^{C_{2}}}{y + 1}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = \frac{C y}{y + 1}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y' + P(x)y = Q(x)

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Ahora consideremos que C es la función de x

$$y = \frac{y C{\left(y \right)}}{y + 1}$$
Y lo sustituimos en la ecuación inicial.
Usando las reglas
- de diferenciación del producto;
- de la derivada de una función compuesta,
hallamos que
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Sustituimos Q(x) y P(x) en esta ecuación.
Recibimos la ecuación diferencial más simple para C(x):
$$\frac{d}{d y} C{\left(y \right)} = \frac{y + 1}{y}$$
Es decir, C(x) =
$$\int \frac{y + 1}{y}\, dy = \left(y + \log{\left(y \right)}\right) + Const$$
Solución detallada de la integral
sustituimos C(x) en
$$y = \frac{y C{\left(y \right)}}{y + 1}$$
y recibimos la respuesta definitiva para y(x):
$$\frac{y \left(y + \log{\left(y \right)} + Const\right)}{y + 1}$$
Respuesta [src]
       y*(C1 + y + log(y))
x(y) = -------------------
              1 + y       
$$x{\left(y \right)} = \frac{y \left(C_{1} + y + \log{\left(y \right)}\right)}{y + 1}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
1st exact
1st linear
Bernoulli
almost linear
lie group
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral
Respuesta numérica [src]
(y, x):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 3.0362876959859224)
(-5.555555555555555, 5.526412266367368)
(-3.333333333333333, 8.918650705400037)
(-1.1111111111111107, 73.66670187533298)
(1.1111111111111107, 99374346706.51118)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 9.144805860439919e-71)
(7.777777777777779, 8.388243567717306e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)