Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y':
$$y$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{d}{d y} x{\left(y \right)} = \frac{y + \frac{x{\left(y \right)}}{y + 1}}{y}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y' + P(x)y = Q(x)
donde
$$P{\left(y \right)} = - \frac{1}{y \left(y + 1\right)}$$
y
$$Q{\left(y \right)} = 1$$
y se llama
lineal homogéneaecuación diferencial de 1 orden:Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y' + P(x)y = 0
con variables separables
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
De y' + P(x)y = 0 obtenemos
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(y \right)} = - \frac{1}{y \left(y + 1\right)}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \left(- \frac{1}{y \left(y + 1\right)}\right)\, dy = \left(- \log{\left(y \right)} + \log{\left(y + 1 \right)}\right) + Const$$
Solución detallada de la integralEs decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = \frac{y e^{C_{1}}}{y + 1}$$
$$y_{2} = - \frac{y e^{C_{2}}}{y + 1}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = \frac{C y}{y + 1}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y' + P(x)y = Q(x)
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Ahora consideremos que C es la función de x
$$y = \frac{y C{\left(y \right)}}{y + 1}$$
Y lo sustituimos en la ecuación inicial.
Usando las reglas
- de diferenciación del producto;
- de la derivada de una función compuesta,
hallamos que
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Sustituimos Q(x) y P(x) en esta ecuación.
Recibimos la ecuación diferencial más simple para C(x):
$$\frac{d}{d y} C{\left(y \right)} = \frac{y + 1}{y}$$
Es decir, C(x) =
$$\int \frac{y + 1}{y}\, dy = \left(y + \log{\left(y \right)}\right) + Const$$
Solución detallada de la integralsustituimos C(x) en
$$y = \frac{y C{\left(y \right)}}{y + 1}$$
y recibimos la respuesta definitiva para y(x):
$$\frac{y \left(y + \log{\left(y \right)} + Const\right)}{y + 1}$$