Sr Examen
Ecuación diferencial xydx+(1-x^2)^(1/2)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
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________
/ 2 d
x*y(x) + \/ 1 - x *--(y(x)) = 0
dx
$$x y{\left(x \right)} + \sqrt{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x*y + sqrt(1 - x^2)*y' = 0
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y':
$$\sqrt{1 - x^{2}}$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{x y{\left(x \right)} + \sqrt{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$P{\left(x \right)} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
y
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Es una ecuación con variables separables.
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx = - \sqrt{1 - x^{2}} + Const$$
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = e^{C_{1} + \sqrt{1 - x^{2}}}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2} + \sqrt{1 - x^{2}}}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = C e^{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
$$\sqrt{1 - x^{2}}$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{x y{\left(x \right)} + \sqrt{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y' + P(x)y = 0,
donde
$$P{\left(x \right)} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
y
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Es una ecuación con variables separables.
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
De y' + P(x)y = 0 obtenemos
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx = - \sqrt{1 - x^{2}} + Const$$
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = e^{C_{1} + \sqrt{1 - x^{2}}}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2} + \sqrt{1 - x^{2}}}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = C e^{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Respuesta
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/ 2
\/ 1 - x
y(x) = C1*e
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
Clasificación
separable
1st exact
1st linear
Bernoulli
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral