Sr Examen
Ecuación diferencial xydx=(x+1)dy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d d
x*y(x) = x*--(y(x)) + --(y(x))
dx dx
$$x y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
x*y = x*y' + y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{x}{x + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{x}{x + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx x}{x + 1}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx x}{x + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \frac{x}{x + 1}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const + x - \log{\left(x + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} e^{x}}{x + 1}$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{x}{x + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{x}{x + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx x}{x + 1}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx x}{x + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \frac{x}{x + 1}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const + x - \log{\left(x + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} e^{x}}{x + 1}$$
Clasificación
factorable
separable
1st linear
Bernoulli
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral