Sr Examen
Ecuación diferencial (3*x+1)*dy+(y^2)*dx=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d d
y (x) + 3*x*--(y(x)) + --(y(x)) = 0
dx dx
$$3 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
3*x*y' + y^2 + y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$3 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{3 x + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{3 x + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{3 x + 1}$$
o
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{3 x + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{2}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{3 x + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{y} = Const - \frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{3}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{3}{C_{1} - \log{\left(3 x + 1 \right)}}$$
$$3 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{3 x + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{3 x + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{3 x + 1}$$
o
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{3 x + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{2}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{3 x + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{y} = Const - \frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{3}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{3}{C_{1} - \log{\left(3 x + 1 \right)}}$$
Respuesta
[src]
-3
y(x) = -----------------
C1 - log(1 + 3*x)
$$y{\left(x \right)} = - \frac{3}{C_{1} - \log{\left(3 x + 1 \right)}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.8023998768716115)
(-5.555555555555555, 0.8864622589406843)
(-3.333333333333333, 1.060097903076429)
(-1.1111111111111107, 2.0270280538038046)
(1.1111111111111107, 6862190.2868911605)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 5.107659831618641e-38)
(7.777777777777779, 8.388243571812186e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)