Ecuación diferencial e^2(1+x^2)dy-2x(1+e^y)dx=0

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

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Ha introducido [src]

       d         2        y(x)    2 d         2    
-2*x + --(y(x))*e  - 2*x*e     + x *--(y(x))*e  = 0
       dx                           dx

x^{2} e^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 x e^{y{\left(x \right)}} - 2 x + e^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0

x^2*exp(2)*y' - 2*x*exp(y) - 2*x + exp(2)*y' = 0

Solución detallada

Tenemos la ecuación:

x^{2} e^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 x e^{y{\left(x \right)}} - 2 x + e^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0

Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde

\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1

\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1

\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right) e^{2}}

\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = e^{y{\left(x \right)}} + 1

Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)

e^{y{\left(x \right)}} + 1

obtendremos

\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{e^{y{\left(x \right)}} + 1} = \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right) e^{2}}

Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así

\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{e^{y{\left(x \right)}} + 1} = \frac{2 dx x}{\left(x^{2} + 1\right) e^{2}}

\frac{dy}{e^{y{\left(x \right)}} + 1} = \frac{2 dx x}{\left(x^{2} + 1\right) e^{2}}

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.

\int \frac{1}{e^{y} + 1}\, dy = \int \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right) e^{2}}\, dx

Tomemos estas integrales

y - \log{\left(e^{y} + 1 \right)} = Const + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{e^{2}}

Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:

\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{\left(e^{1}\right)^{2}} - \log{\left(e^{y{\left(x \right)}} + 1 \right)} = C_{1}

Respuesta [src]

     /     y(x)\    -2    /     2\            
- log\1 + e    / - e  *log\1 + x / + y(x) = C1

y{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{e^{2}} - \log{\left(e^{y{\left(x \right)}} + 1 \right)} = C_{1}

Clasificación

separable

1st exact

1st power series

lie group

separable Integral

1st exact Integral