Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{3 x + 2 y{\left(x \right)} - 1}{x + 1} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} - 2}{x + 1}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \left(x + 1\right) u{\left(x \right)} + 2$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x + 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- \frac{3 x}{x + 1} + \left(x + 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)} - \frac{2 \left(\left(x + 1\right) u{\left(x \right)} + 2\right)}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} = 0$$
o
$$\left(x + 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - u{\left(x \right)} - 3 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - u{\left(x \right)} - 3$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- u{\left(x \right)} - 3$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 3} = - \frac{1}{x + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 3} = - \frac{dx}{x + 1}$$
o
$$- \frac{du}{u{\left(x \right)} + 3} = - \frac{dx}{x + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{u + 3}\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con uSolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$- \log{\left(u + 3 \right)} = Const - \log{\left(x + 1 \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
hacemos cambio inverso
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} - 2}{x + 1}$$
$$- \log{\left(3 + \frac{y{\left(x \right)} - 2}{x + 1} \right)} = Const - \log{\left(x + 1 \right)}$$