Sr Examen
Ecuación diferencial sin(2x+y)dx=(dy/siny)+sin(2x-y)dx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
--(y(x))
dx
sin(2*x + y(x)) = --------- + sin(-y(x) + 2*x)
sin(y(x))
$$\sin{\left(2 x + y{\left(x \right)} \right)} = \sin{\left(2 x - y{\left(x \right)} \right)} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
sin(2*x + y) = sin(2*x - y) + y'/sin(y)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sin{\left(2 x - y{\left(x \right)} \right)} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \sin{\left(2 x + y{\left(x \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 4 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - 2 dx \cos{\left(2 x \right)}$$
o
$$- \frac{dy}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - 2 dx \cos{\left(2 x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{\sin^{2}{\left(y \right)}}\right)\, dy = \int \left(- 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\cos{\left(y \right)}}{\sin{\left(y \right)}} = Const - \sin{\left(2 x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{C_{1} + \sin{\left(2 x \right)}} \right)}$$
$$\sin{\left(2 x - y{\left(x \right)} \right)} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \sin{\left(2 x + y{\left(x \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 4 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - 2 dx \cos{\left(2 x \right)}$$
o
$$- \frac{dy}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - 2 dx \cos{\left(2 x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{\sin^{2}{\left(y \right)}}\right)\, dy = \int \left(- 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\cos{\left(y \right)}}{\sin{\left(y \right)}} = Const - \sin{\left(2 x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{C_{1} + \sin{\left(2 x \right)}} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ 1 \
y(x) = -atan|-------------|
\C1 + sin(2*x)/
$$y{\left(x \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{C_{1} + \sin{\left(2 x \right)}} \right)}$$
Clasificación
factorable
1st exact
1st power series
lie group
1st exact Integral