Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación x*sqrt(1+y^2)+y*y'*sqrt(1+x^2)=0
- Ecuación y''+y=tanx
- Ecuación -x*y'+y=2*x^2*y'+2
- Ecuación (x+1)(y'+y^2)=-y
- Derivada de:
-
dx/dt
-
Expresiones idénticas
- dx/dt=-x+y- uno + uno /(x-y)
- dx dividir por dt es igual a menos x más y menos 1 más 1 dividir por (x menos y)
- dx dividir por dt es igual a menos x más y menos uno más uno dividir por (x menos y)
- dx/dt=-x+y-1+1/x-y
- dx dividir por dt=-x+y-1+1 dividir por (x-y)
-
Expresiones semejantes
- y'=-x+y-1+1/(x-y+2)
- dx/dt=-x+y-1-1/(x-y)
- dx/dt=-x+y-1+1/(x+y)
- dx/dt=-x-y-1+1/(x-y)
- dy/dx=-x+y-1+1/(x-y+2)
- dx/dt=-x+y+1+1/(x-y)
- dx/dt=+x+y-1+1/(x-y)
-
Expresiones con funciones
- dx
- dx*(x^3-3*x*y^2)+dy*(-3*x^2*y+y^3)=0
- dx*(x^2+3*x*y+y^2)-dy*x^2=0
- dx*(2*x^2*y+2*y+5)+dy*(2*x^3+2*x)=0
- dx/(x+y)=dy/(y-x)
- dx*(x^2*y^2-1)=-2*dy*x^3*y
Ecuación diferencial dx/dt=-x+y-1+1/(x-y)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 1 --(x(t)) = -1 + y + --------- - x(t) dt -y + x(t)
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = y - x{\left(t \right)} - 1 + \frac{1}{- y + x{\left(t \right)}}$$
x' = y - x - 1 + 1/(-y + x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = y - x{\left(t \right)} - 1 + \frac{1}{- y + x{\left(t \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = \frac{- y^{2} + 2 y x{\left(t \right)} + y - x^{2}{\left(t \right)} - x{\left(t \right)} + 1}{- y + x{\left(t \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$\frac{- y^{2} + 2 y x{\left(t \right)} + y - x^{2}{\left(t \right)} - x{\left(t \right)} + 1}{- y + x{\left(t \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\left(y - x{\left(t \right)}\right) \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{y^{2} - 2 y x{\left(t \right)} - y + x^{2}{\left(t \right)} + x{\left(t \right)} - 1} = 1$$
Con esto hemos separado las variables t y x.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt \left(y - x{\left(t \right)}\right) \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{y^{2} - 2 y x{\left(t \right)} - y + x^{2}{\left(t \right)} + x{\left(t \right)} - 1} = dt$$
o
$$\frac{dx \left(y - x{\left(t \right)}\right)}{y^{2} - 2 y x{\left(t \right)} - y + x^{2}{\left(t \right)} + x{\left(t \right)} - 1} = dt$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{- x + y}{x^{2} - 2 x y + x + y^{2} - y - 1}\, dx = \int 1\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$- \left(\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}\right) \log{\left(x - y + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}\right) \log{\left(x - y - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \right)} = Const + t$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = - t - \frac{\left(\sqrt{5} + 5\right) \log{\left(- y + x{\left(t \right)} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{10} - \frac{\left(5 - \sqrt{5}\right) \log{\left(- y + x{\left(t \right)} - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{10} = C_{1}$$
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = y - x{\left(t \right)} - 1 + \frac{1}{- y + x{\left(t \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(x)*x' = f2(x)*g2(x),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = \frac{- y^{2} + 2 y x{\left(t \right)} + y - x^{2}{\left(t \right)} - x{\left(t \right)} + 1}{- y + x{\left(t \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(x)/g2(x)*x'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$\frac{- y^{2} + 2 y x{\left(t \right)} + y - x^{2}{\left(t \right)} - x{\left(t \right)} + 1}{- y + x{\left(t \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\left(y - x{\left(t \right)}\right) \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{y^{2} - 2 y x{\left(t \right)} - y + x^{2}{\left(t \right)} + x{\left(t \right)} - 1} = 1$$
Con esto hemos separado las variables t y x.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt \left(y - x{\left(t \right)}\right) \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{y^{2} - 2 y x{\left(t \right)} - y + x^{2}{\left(t \right)} + x{\left(t \right)} - 1} = dt$$
o
$$\frac{dx \left(y - x{\left(t \right)}\right)}{y^{2} - 2 y x{\left(t \right)} - y + x^{2}{\left(t \right)} + x{\left(t \right)} - 1} = dt$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{- x + y}{x^{2} - 2 x y + x + y^{2} - y - 1}\, dx = \int 1\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$- \left(\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}\right) \log{\left(x - y + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)} - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}\right) \log{\left(x - y - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \right)} = Const + t$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = - t - \frac{\left(\sqrt{5} + 5\right) \log{\left(- y + x{\left(t \right)} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{10} - \frac{\left(5 - \sqrt{5}\right) \log{\left(- y + x{\left(t \right)} - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{10} = C_{1}$$
Respuesta
[src]
/ ___ \ / ___ \
/ ___\ |1 \/ 5 | / ___\ |1 \/ 5 |
\5 + \/ 5 /*log|- + ----- - y + x(t)| \5 - \/ 5 /*log|- - y - ----- + x(t)|
\2 2 / \2 2 /
-t - ------------------------------------- - ------------------------------------- = C1
10 10
$$- t - \frac{\left(\sqrt{5} + 5\right) \log{\left(- y + x{\left(t \right)} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{10} - \frac{\left(5 - \sqrt{5}\right) \log{\left(- y + x{\left(t \right)} - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \right)}}{10} = C_{1}$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral