Sr Examen
Ecuación diferencial cos^2(x)+e^(2*y)*y'=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d 2*y(x)
cos (x) + --(y(x))*e = 0
dx
$$e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
exp(2*y)*y' + cos(x)^2 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = e^{- 2 y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$e^{- 2 y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \cos^{2}{\left(x \right)}$$
o
$$dy e^{2 y{\left(x \right)}} = - dx \cos^{2}{\left(x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int e^{2 y}\, dy = \int \left(- \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{e^{2 y}}{2} = Const - \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(- \sqrt{C_{1} - x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(C_{1} - x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} \right)}}{2}$$
$$e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = e^{- 2 y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$e^{- 2 y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \cos^{2}{\left(x \right)}$$
o
$$dy e^{2 y{\left(x \right)}} = - dx \cos^{2}{\left(x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int e^{2 y}\, dy = \int \left(- \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{e^{2 y}}{2} = Const - \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(- \sqrt{C_{1} - x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(C_{1} - x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} \right)}}{2}$$
Respuesta
[src]
/ ___________________\
| / sin(2*x) |
y(x) = log|- / C1 - x - -------- |
\ \/ 2 /
$$y{\left(x \right)} = \log{\left(- \sqrt{C_{1} - x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}} \right)}$$
/ sin(2*x)\
log|C1 - x - --------|
\ 2 /
y(x) = ----------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(C_{1} - x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} \right)}}{2}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.31534398268542085)
(-5.555555555555555, -21.49528122699367)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 6.971028255580836e+173)
(3.333333333333334, 3.1933833808213398e-248)
(5.555555555555557, 6.29567287026948e-66)
(7.777777777777779, 8.388243567339306e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)