Ecuación diferencial cos(y/3)dy=(x+2)dx

Tenemos la ecuación:
$$\cos{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{3} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x + 2$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x + 2$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\cos{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{3} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\cos{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{3} \right)}}$$
obtendremos
$$\cos{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{3} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x + 2$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \cos{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{3} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(x + 2\right)$$
o
$$dy \cos{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{3} \right)} = dx \left(x + 2\right)$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \cos{\left(\frac{y}{3} \right)}\, dy = \int \left(x + 2\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$3 \sin{\left(\frac{y}{3} \right)} = Const + \frac{x^{2}}{2} + 2 x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - 3 \operatorname{asin}{\left(C_{1} + \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 x}{3} \right)} + 3 \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = 3 \operatorname{asin}{\left(C_{1} + \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 x}{3} \right)}$$