Sr Examen
Ecuación diferencial y''+9y'+36y=4(exp^(3x))
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d 3*x
9*--(y(x)) + 36*y(x) + ---(y(x)) = 4*e
dx 2
dx
$$36 y{\left(x \right)} + 9 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 4 e^{3 x}$$
36*y + 9*y' + y'' = 4*exp(3*x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$36 y{\left(x \right)} + 9 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 4 e^{3 x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 9$$
$$q = 36$$
$$s = - 4 e^{3 x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 9 k + 36 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{7} i}{2}$$
$$k_{2} = - \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{7} i}{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(- \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-9/2 - 3*sqrt(7)*i/2)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(-9/2 + 3*sqrt(7)*i/2)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 4 e^{3 x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(- \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(- \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(- \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} = 4 e^{3 x}$$
o
$$e^{x \left(- \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(- \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right) e^{x \left(- \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(- \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right) e^{x \left(- \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 4 e^{3 x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{4 \sqrt{7} i e^{\frac{3 x \left(5 + \sqrt{7} i\right)}{2}}}{21}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{4 \sqrt{7} i e^{\frac{3 x \left(5 - \sqrt{7} i\right)}{2}}}{21}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{4 \sqrt{7} i e^{\frac{3 x \left(5 + \sqrt{7} i\right)}{2}}}{21}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{4 \sqrt{7} i e^{\frac{3 x \left(5 - \sqrt{7} i\right)}{2}}}{21}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{4 \sqrt{7} i \left(\frac{5 e^{\frac{15 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}}}{27 + 15 \sqrt{7} i} + \frac{\sqrt{7} i e^{\frac{15 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}}}{27 + 15 \sqrt{7} i}\right)}{21}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{4 \sqrt{7} i \left(- \frac{5 e^{\frac{15 x}{2}}}{- 27 e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}} + 15 \sqrt{7} i e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}}} + \frac{\sqrt{7} i e^{\frac{15 x}{2}}}{- 27 e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}} + 15 \sqrt{7} i e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}}}\right)}{21}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- \frac{9 x}{2}} e^{- \frac{3 \sqrt{7} i x}{2}} + C_{4} e^{- \frac{9 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}} - \frac{4 e^{3 x}}{3 \left(27 + 15 \sqrt{7} i\right)} + \frac{20 \sqrt{7} i e^{3 x}}{21 \left(27 + 15 \sqrt{7} i\right)} + \frac{4 e^{3 x} e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}}}{3 \left(- 27 e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}} + 15 \sqrt{7} i e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}}\right)} + \frac{20 \sqrt{7} i e^{3 x} e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}}}{21 \left(- 27 e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}} + 15 \sqrt{7} i e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$36 y{\left(x \right)} + 9 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 4 e^{3 x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = 9$$
$$q = 36$$
$$s = - 4 e^{3 x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 9 k + 36 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{7} i}{2}$$
$$k_{2} = - \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{7} i}{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(- \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-9/2 - 3*sqrt(7)*i/2)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(-9/2 + 3*sqrt(7)*i/2)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 4 e^{3 x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(- \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(- \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(- \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} = 4 e^{3 x}$$
o
$$e^{x \left(- \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(- \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right) e^{x \left(- \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(- \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right) e^{x \left(- \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 4 e^{3 x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{4 \sqrt{7} i e^{\frac{3 x \left(5 + \sqrt{7} i\right)}{2}}}{21}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{4 \sqrt{7} i e^{\frac{3 x \left(5 - \sqrt{7} i\right)}{2}}}{21}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{4 \sqrt{7} i e^{\frac{3 x \left(5 + \sqrt{7} i\right)}{2}}}{21}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{4 \sqrt{7} i e^{\frac{3 x \left(5 - \sqrt{7} i\right)}{2}}}{21}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{4 \sqrt{7} i \left(\frac{5 e^{\frac{15 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}}}{27 + 15 \sqrt{7} i} + \frac{\sqrt{7} i e^{\frac{15 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}}}{27 + 15 \sqrt{7} i}\right)}{21}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{4 \sqrt{7} i \left(- \frac{5 e^{\frac{15 x}{2}}}{- 27 e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}} + 15 \sqrt{7} i e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}}} + \frac{\sqrt{7} i e^{\frac{15 x}{2}}}{- 27 e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}} + 15 \sqrt{7} i e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}}}\right)}{21}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{9}{2} - \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{7} i}{2}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- \frac{9 x}{2}} e^{- \frac{3 \sqrt{7} i x}{2}} + C_{4} e^{- \frac{9 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}} - \frac{4 e^{3 x}}{3 \left(27 + 15 \sqrt{7} i\right)} + \frac{20 \sqrt{7} i e^{3 x}}{21 \left(27 + 15 \sqrt{7} i\right)} + \frac{4 e^{3 x} e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}}}{3 \left(- 27 e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}} + 15 \sqrt{7} i e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}}\right)} + \frac{20 \sqrt{7} i e^{3 x} e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}}}{21 \left(- 27 e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}} + 15 \sqrt{7} i e^{\frac{3 \sqrt{7} i x}{2}}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
-9*x
3*x / / ___\ / ___\\ ----
e | |3*x*\/ 7 | |3*x*\/ 7 || 2
y(x) = ---- + |C1*sin|---------| + C2*cos|---------||*e
18 \ \ 2 / \ 2 //
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(\frac{3 \sqrt{7} x}{2} \right)} + C_{2} \cos{\left(\frac{3 \sqrt{7} x}{2} \right)}\right) e^{- \frac{9 x}{2}} + \frac{e^{3 x}}{18}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral