Sr Examen
Ecuación diferencial y’’+2*y’+5*y=(x*cos(2*x)+cos(x))*e^(-x)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d -x
2*--(y(x)) + 5*y(x) + ---(y(x)) = (x*cos(2*x) + cos(x))*e
dx 2
dx
$$5 y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}$$
5*y + 2*y' + y'' = (x*cos(2*x) + cos(x))*exp(-x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$5 y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 2$$
$$q = 5$$
$$s = - \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 2 k + 5 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -1 - 2 i$$
$$k_{2} = -1 + 2 i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(-1 - 2 i\right)} + C_{2} e^{x \left(-1 + 2 i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 + 2 i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-1 - 2*i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(-1 + 2*i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(-1 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(-1 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(-1 - 2 i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(-1 + 2 i\right)} = \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}$$
o
$$e^{x \left(-1 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(-1 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(-1 - 2 i\right) e^{x \left(-1 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(-1 + 2 i\right) e^{x \left(-1 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{i \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 i x}}{4}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{i \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 i x}}{4}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{i \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 i x}}{4}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{i \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 i x}}{4}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{i x^{2}}{16} + \frac{\left(768 x + 192 i\right) e^{4 i x}}{24576} + \frac{e^{3 i x}}{24} + \frac{e^{i x}}{8}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{i x^{2}}{16} + \frac{\left(768 x - 192 i\right) e^{- 4 i x}}{24576} + \frac{e^{- i x}}{8} + \frac{e^{- 3 i x}}{24}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 + 2 i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- x} e^{- 2 i x} + C_{4} e^{- x} e^{2 i x} - \frac{i x^{2} e^{- x} e^{2 i x}}{16} + \frac{i x^{2} e^{- x} e^{- 2 i x}}{16} + \frac{x e^{- x} e^{2 i x}}{32} + \frac{x e^{- x} e^{- 2 i x}}{32} + \frac{i e^{- x} e^{2 i x}}{128} + \frac{e^{- x} e^{i x}}{6} + \frac{e^{- x} e^{- i x}}{6} - \frac{i e^{- x} e^{- 2 i x}}{128}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$5 y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = 2$$
$$q = 5$$
$$s = - \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 2 k + 5 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -1 - 2 i$$
$$k_{2} = -1 + 2 i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(-1 - 2 i\right)} + C_{2} e^{x \left(-1 + 2 i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 + 2 i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-1 - 2*i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(-1 + 2*i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(-1 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(-1 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(-1 - 2 i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(-1 + 2 i\right)} = \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}$$
o
$$e^{x \left(-1 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(-1 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(-1 - 2 i\right) e^{x \left(-1 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(-1 + 2 i\right) e^{x \left(-1 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{i \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 i x}}{4}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{i \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 i x}}{4}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{i \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{2 i x}}{4}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{i \left(x \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{- 2 i x}}{4}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{i x^{2}}{16} + \frac{\left(768 x + 192 i\right) e^{4 i x}}{24576} + \frac{e^{3 i x}}{24} + \frac{e^{i x}}{8}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{i x^{2}}{16} + \frac{\left(768 x - 192 i\right) e^{- 4 i x}}{24576} + \frac{e^{- i x}}{8} + \frac{e^{- 3 i x}}{24}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 + 2 i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- x} e^{- 2 i x} + C_{4} e^{- x} e^{2 i x} - \frac{i x^{2} e^{- x} e^{2 i x}}{16} + \frac{i x^{2} e^{- x} e^{- 2 i x}}{16} + \frac{x e^{- x} e^{2 i x}}{32} + \frac{x e^{- x} e^{- 2 i x}}{32} + \frac{i e^{- x} e^{2 i x}}{128} + \frac{e^{- x} e^{i x}}{6} + \frac{e^{- x} e^{- i x}}{6} - \frac{i e^{- x} e^{- 2 i x}}{128}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
/ / 2\ \
|cos(x) / x \ | x | | -x
y(x) = |------ + |C1 + --|*cos(2*x) + |C2 + --|*sin(2*x)|*e
\ 3 \ 16/ \ 8 / /
$$y{\left(x \right)} = \left(\left(C_{1} + \frac{x}{16}\right) \cos{\left(2 x \right)} + \left(C_{2} + \frac{x^{2}}{8}\right) \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{3}\right) e^{- x}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral